Јединична матрица

Јединична матрица је у линеарној алгебри назив за квадратну матрицу којој су елементи на главној дијагонали јединице, а остали нуле. Ова матрица се још назива идентичном, јер у производу са другим матрицама даје управо њих као резултат множења тј. не мења их. Ова матрица се означава великим латиничним словом E а индекс који може и не мора да стоји поред ознаке означава димензију исте. Ознака за матрицу идентичног пресликавања је Id или само I.

$E_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ E_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ E_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

Што се такође може дефинисати и Кронекеровом делтом:

$E_{n}=(\delta _{ij})_{i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$,

где је:

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&,i=j\\0&,i\neq j\end{matrix}}\right.\quad {\mbox{sa }}i,j\in \{1,\ldots ,n\}$

Алтернативни записи су:

$E_{ij}=\delta _{ij}\!$

$E=(\delta _{ij})\!$

Особине

Множење

Једна од битних особина јединичне матрице E_n неког простора K^{n × n} је да је она једина за коју важи:

$EA=AE=A,\;A\in K^{n\times n}$

Штавише, види се да је матрица над простором K^{n × n} комутативна тј. није битно да ли се њоме множи слева или здесна. Ово не важи за просторе K^{n × m}, m ≠ n, где се овом матрицом може множити само слева односно само здесна.

Из ове особине такође следи и:

$AA^{-1}=A^{-1}A=E\!$

Пример:

${\begin{bmatrix}2&3&-2\\1&1&3\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&3&-2\\1&1&3\end{bmatrix}}$

Детерминанта и инверз

Детерминанта ове матрице је увек 1, док је она сама себи инверзна.

$|E|=1\!$

$E=E^{-1}\!$

Друга особина се може доказати на следећи начин:

$EE^{-1}=E\!$, опште правило које важи за све матрице

$E^{-1}EE^{-1}=E^{-1}E\!$, множење слева са E^-1

$\underbrace {E^{-1}E} _{E}E^{-1}=\underbrace {E^{-1}E} _{E}$, матрица помножена својим инверзом увек даје E

$\underbrace {EE^{-1}} _{E^{-1}}=E$, матрица помножена јединичном даје саму себе

$E^{-1}=E\!$, доказ завршен