Бернулијева расподела

У теорији вероватноће и статистици, Бернулијева расподела, названа по швајцарском математичару Јакобу Бернулију, је дискретна расподела вероватноће случајне променљиве која узима вредност 1 са вероватноћом $p$ а вредност 0 са вероватноћом $q=1-p$ . Мање формално, може се сматрати моделом за скуп могућих исхода било ког појединачног експеримента који поставља питање да-не. Таква питања довести до исхода који су Булови резултати: један бит чија је вредност успех / да / истина / један од вероватноћа p и неуспех / не / лажно / нула са вероватноћа К. Може се користити за представљање (могуће пристрасног) бацања новчића где би 1 и 0 представљали „главе“ и „писма“ (или обрнуто), а p би представљало вероватноћу да ће новчић пасти на главу или реп, респективно.

Бернулијева расподела је посебан случај биномне дистрибуције где се спроводи једно испитивање (тако да би n било 1 за такву биномну дистрибуцију). То је такође посебан случај дистрибуције у две тачке, за коју могући исходи не морају бити 0 и 1.

Својства

Ако је $X$ случајна променљива са овом расподелом, онда је:

$\Pr(X=1)=p=1-\Pr(X=0)=1-q.$

Функција масе вероватноће функције $f$ ове расподеле, преко могућих исхода к, је

$f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{if }}k=1,\\q=1-p&{\text{if }}k=0.\end{cases}}$

Такође се може изразити као:

$f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}$

или се може изразити као:

$f(k;p)=pk+(1-p)(1-k)\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}.$

Бернулијева расподела је посебан случај биномске расподеле са $n=1.$

Куртозис иде у бесконачност за високе и ниске вредности параметра $p,$ али за параметар $p=1/2$ расподела у две тачке укључујући Бернулијеву расподелу има нижи вишак ексцеса од било које друге расподеле вероватноће, тј. −2.

Бернулијева расподела за $0\leq p\leq 1$ формира експоненцијалну породицу .

Процена максималне вероватноће за параметар $p$ на основу случајно одабраног узорка је средња вредност узорка .

Значење

Очекивана вредност Бернулијеве случајно одабране променљиве $X$ је

$\operatorname {E} \left(X\right)=p$

Ово знамо због чињенице да је за Бернулијеву расподељену случајну променљиву $X$ са $\Pr(X=1)=p$ и $\Pr(X=0)=q$ налазимо:

$\operatorname {E} [X]=\Pr(X=1)\cdot 1+\Pr(X=0)\cdot 0=p\cdot 1+q\cdot 0=p.$

Променљивост

Расподела варијансе Бернулија $X$ је:

$\operatorname {Var} [X]=pq=p(1-p)$

Прво можемо наћи:о

$\operatorname {E} [X^{2}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{2}+\Pr(X=0)\cdot 0^{2}=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p=\operatorname {E} [X]$

Из овога се да уследити:

$\operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}=\operatorname {E} [X]-\operatorname {E} [X]^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq$

Са овим резултатом лако је доказати да ће за било коју Бернулијеву расподелу њена варијанса имати вредност у простирању $[0,1/4]$ .

Искривљеност (Skewness)

Искривљеност представља ${\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}$ . Када усвојимо стандардизовану Бернулијеву расподељену случајну променљиву ${\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}}$ налазимо да ова случајна променљива достиже ${\frac {q}{\sqrt {pq}}}$ са вероватноћом $p$ и постиже $-{\frac {p}{\sqrt {pq}}}$ са вероватноћом $q$ . Тако можемо да добијемо

${\begin{aligned}\gamma _{1}&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}}\right)^{3}\right]\\&=p\cdot \left({\frac {q}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}+q\cdot \left(-{\frac {p}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}\\&={\frac {1}{{\sqrt {pq}}^{3}}}\left(pq^{3}-qp^{3}\right)\\&={\frac {pq}{{\sqrt {pq}}^{3}}}(q-p)\\&={\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}.\end{aligned}}$

Виши моменти и кумуланти

Сви сирови(нобрађени) моменти су једнаки због чињенице да је $1^{k}=1$ и $0^{k}=0$ .

$\operatorname {E} [X^{k}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{k}+\Pr(X=0)\cdot 0^{k}=p\cdot 1+q\cdot 0=p=\operatorname {E} [X].$

Централни тренутак реда $k$ даје следећу једначину:

$\mu _{k}=(1-p)(-p)^{k}+p(1-p)^{k}.$

Првих шест централних момената су следећи:

${\begin{aligned}\mu _{1}&=0,\\\mu _{2}&=p(1-p),\\\mu _{3}&=p(1-p)(1-2p),\\\mu _{4}&=p(1-p)(1-3p(1-p)),\\\mu _{5}&=p(1-p)(1-2p)(1-2p(1-p)),\\\mu _{6}&=p(1-p)(1-5p(1-p)(1-p(1-p))).\end{aligned}}$

Док виши централни моменти могу се компактније изразити у терминима $\mu _{2}$ и $\mu _{3}$, што је приказано испод:

${\begin{aligned}\mu _{4}&=\mu _{2}(1-3\mu _{2}),\\\mu _{5}&=\mu _{3}(1-2\mu _{2}),\\\mu _{6}&=\mu _{2}(1-5\mu _{2}(1-\mu _{2})).\end{aligned}}$

Првих шест кумуланата су следећи:

${\begin{aligned}\kappa _{1}&=p,\\\kappa _{2}&=\mu _{2},\\\kappa _{3}&=\mu _{3},\\\kappa _{4}&=\mu _{2}(1-6\mu _{2}),\\\kappa _{5}&=\mu _{3}(1-12\mu _{2}),\\\kappa _{6}&=\mu _{2}(1-30\mu _{2}(1-4\mu _{2})).\end{aligned}}$

Повезане расподеле

• Ако су $X_{1},\dots ,X_{n}$ независне, идентично распоређене ( i.i.d. ) случајне променљиве, сва Бернулијева испитивања са вероватноћом успеха p, онда се њихов збир распоређује према биномној расподели са параметрима n и p :

  $\sum _{k=1}^{n}X_{k}\sim \operatorname {B} (n,p)$ ( биномна расподела).

Бернулијева расподела је једноставна $\operatorname {B} (1,p)$, такође написана као функција: ${\textstyle \mathrm {Bernoulli} (p).}$

• Категоријска расподела је генерализација Бернулијеве расподеле за променљиве са било којим константним бројем дискретних вредности.
• Бета дистрибуција је коњуговани претходник Бернулијеве расподеле.
• Геометријска дистрибуција моделира број независних и идентичних Бернулијевих покушаја потребних за постизање једног успеха.
• Ако ${\textstyle Y\sim \mathrm {Bernoulli} \left({\frac {1}{2}}\right)}$, онда ${\textstyle 2Y-1}$ има Радемахерову дистрибуцију .

Види још

• Бернулијев процес, случајни процес који се састоји од низа независних Бернулијевих испитивања
• Бернулијево узорковање
• Бинарна ентропијска функција
• Бинарни дијаграм одлучивања

Додатна литература

• Johnson, N. L.; Kotz, S.; Kemp, A. (1993). Univariate Discrete Distributions (2nd изд.). Wiley. ISBN 0-471-54897-9. 
• Peatman, John G. (1963). Introduction to Applied Statistics. New York: Harper & Row. стр. 162–171. 

Спољашње везе

• Hazewinkel, Michiel, ур. (2001) [1994], „Binomial distribution”, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4  .
• Интерактивна графика: Једноваријантни односи дистрибуције .