Дефиниције непрекидности

Кошијева дефиниција

Илустровани приказ Кошијеве ε - δ дефиниције непрекидности. За нпр. ε=0.5, c=2, вредност δ=0.5 задовољава услов дефиниције.

Дефиницију на $\varepsilon -\delta$ језику је дао Коши и та дефиниција је везана је за функције реалних бројева.

Посматрајмо функцију $f:X\rightarrow \mathbb {R} ,X\subseteq \mathbb {R}$. Нека је $x_{0}\in X$ тачка нагомилавања скупа $X$.

Функција $f$ је непрекидна у тачки $x_{0}$, ако је:

$(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in X)(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon )$

Ова дефиниција је еквивалентна са:

Функција $f$ је непрекидна у тачки $x_{0}$, ако је:

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

Хајнеова дефиниција

Овом дефиницијом непрекидну функцију je Хајне дао преко граничне вредности низа.

Реална функција $f$ је непрекидна ако за сваки низ $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, такав да

$\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=L$,

важи

$\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(L)$

Овде смо наравно претпоставили да сваки члан низа припада домену функције.

Тополошка дефиниција

Функција $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ је непрекидна у тачки $x_{0}\in X$ ако:

$(\forall V\in {\mathcal {V}}(f(x_{0})))(\exists U\in {\mathcal {V}}(x_{0}))(f(U\cap X)\subseteq V)$

За функцију између два тополошка простора се каже да је непрекидна ако она сваки отворени инверзни скуп пресликава у отворени скуп.

Дефиниција непрекидности са стране

Функција непрекидна с десне стране

Посматрајмо функцију $f:X\rightarrow \mathbb {R}$,

функција је непрекидна са леве стране у тачки $x_{0}$ ако

$\lim _{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})$

функција је непрекидна са десне стране у тачки $x_{0}$ ако

$\lim _{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=f(x_{0})$

Теорема: Функција $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ је непрекидна у тачки $x_{0}\in X$ ако и само ако је непрекидна у тој тачки и са леве и са десне стране.

Види још

• Непрекидна функција
• Непрекидност
• Дефиниција

Литература

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.