Матрица (математика)
У математици, матрица је правоугаона табела бројева, или општије, табела која се састоји од апстрактних објеката који се могу сабирати и множити.
Матрице се користе да опишу линеарне једначине, да се прате коефицијенти линеарних трансформација, као и за чување података који зависе од два параметра. Матрице се могу сабирати, множити, и разлагати на разне начине, што их чини кључним концептом у линеарној алгебри и теорији матрица.
Дефиниције и нотације[уреди | уреди извор]
Хоризонталне линије у матрици се називају врстама, а вертикалне колонама матрице. Матрица са m врста и n колона се назива m-са-n матрицом (каже се и записује да је формата m×n) а m и n су димензије матрице.
Члан матрице A, који се налази у i-тој врсти и у j-тој колони се назива (i,j)-ти члан матрице A. Ово се записује као Ai,j или A[i,j]. Увек се прво назначује врста, па колона.
Често се пише како би се дефинисала m × n матрица A чији се сваки члан, A[i,j] назива ai,j за све 1 ≤ i ≤ m и 1 ≤ j ≤ n. Међутим, конвенција да i и j почињу од 1 није универзална: неки програмски језици започињу од нуле, у ком случају имамо 0 ≤ i ≤ m − 1 и 0 ≤ j ≤ n − 1.
Матрицу чија је једна од димензија једнака јединици често називамо вектором, и интерпретирамо је као елемент реалног координатног простора. 1 × n матрица (једна врста и n колона) се назива вектор врста, а m × 1 матрица (једна колона и m врста) се назива вектор колона.
Пример[уреди | уреди извор]
Матрица
је 4×3 матрица. Елемент A[2,3] или a2,3 је 7.
Матрица
је 1×9 матрица, или вектор врста са 9 елемената.
Сабирање и множење матрица[уреди | уреди извор]
Сабирање[уреди | уреди извор]
Ако су дате матрице A и B, димензија m-са-n, њихов збир A + B је m-са-n матрица, израчуната сабирањем одговарајућих елемената (т. ј. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). На пример:
Множење скаларом[уреди | уреди извор]
Ако узмемо матрицу A и број c, скаларни производ cA се рачуна множењем скаларом c сваког елемента A (т. ј. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). На пример:
Операције сабирања и множења скаларом претварају скуп M(m, n, R) свих m-са-n матрица са реалним члановима у реални векторски простор димензије mn.
Међусобно множење матрица[уреди | уреди извор]
Множење две матрице је добро дефинисано само ако је број колона леве матрице једнак броју врста десне матрице. Ако је A матрица димензија m-са-n, а B је матрица димензија n-са-p, тада је њихов производ AB матрица димензија m-са-p (m врста, p колона) дат формулом:
за сваки пар i и j.
На пример:
Множење матрица има следећа својства:
- (AB)C = A(BC) за све k-са-m матрице A, m-са-n матрице B и n-са-p матрице C (асоцијативност).
- (A + B)C = AC + BC за све m-са-n матрице A и B и n-са-k матрице C (десна дистрибутивност).
- C(A + B) = CA + CB за све m-са-n матрице A и B и k-са-m матрице C (лева дистрибутивност).
Ваља знати да комутативност не важи у општем случају; ако су дате матрице A и B, чак и ако су оба производа дефинисана, у општем случају је AB ≠ BA.
Посебно, скуп M(n, R) свих квадратних матрица реда n јесте реална асоцијативна алгебра са јединицом, која је некомутативна за n ≥ 2.
Линеарне трансформације, ранг, транспонована матрица[уреди | уреди извор]
Матрице могу на згодан начин да представе линеарне трансформације јер множење матрица одговара слагању пресликавања, као што ће даље бити описано. Управо ово својство матрице чини моћном структуром података у вишим програмским језицима.
Овде и у наставку, посматрамо Rn као скуп колона или n-са-1 матрица. За свако линеарно пресликавање f : Rn → Rm постоји јединствена m-са-n матрица A, таква да f(x) = Ax за свако x у Rn. Кажемо да матрица A представља линеарно пресликавање f. Ако k-са-m матрица B представља друго линеарно пресликавање g : Rm → Rk, тада је њихова композиција g o f такође линеарно пресликавање Rm → Rn, и представљено је управо матрицом BA. Ово следи из горе поменуте асоцијативности множења матрица.
Општије, линеарно пресликавање из n-димензионог векторског простора у m-димензиони векторски простор је представљено m-са-n матрицом, ако су изабране базе за сваки.
Ранг матрице A је димензија слике линеарног пресликавања представљеног са A; она је иста као димензија простора генерисаног врстама A, и такође је исте димензије као простор генерисан колонама A.
Транспонована матрица, матрице m-са-n, A је n-са-m матрица Atr (некад се записује и као AT или tA), која настаје претварањем врста у колоне, и колона у врсте, то јест Atr[i, j] = A[j, i] за свако i и j. Ако A представља линеарно пресликавање у односу на две базе, тада матрица Atr представља линеарно пресликавање у односу на дуалне базе (види дуални простор).
Важи (A + B)tr = Atr + Btr и (AB)tr = Btr Atr.
Види још[уреди | уреди извор]
Особине матрица[уреди | уреди извор]
Посебне матрице[уреди | уреди извор]
Литература[уреди | уреди извор]
- Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0-07-002655-6.
Спољашње везе[уреди | уреди извор]
![]() |
Матрица на Викимедијиној остави. |