Појина конјектура

Сумарна Лиувилова функција L(n) за вредности до $n=10^{7}$. Видне осцилације се јављају услед првих нетривијалних нула Риманове зета функције.

Појина конјектура је математичка конјектура која тврди да 'већина' (то јест више од 50%) природних бројева мањих од било ког датог броја имају непаран број простих делилаца. Конјектуру је поставио мађарски математичар Ђерђ Поја 1919. Ова конјектура је оповргнута, а величина најмањег контрапримера се често користи да се покаже како конјектура може бити тачна за многе бројеве, а да ипак постоји контрапример.

Исказ

Појина конјектура тврди да за свако n (>1), ако поделимо природне бројеве мање од n (искључујући 0) у оне који имају непаран број простих делилаца и оне који имају паран број простих делилаца, онда ће прва група имати више чланова, или ће обе групе имати исти број чланова. (Поновљени прости делиоци се рачунају одговарајући број пута - стога 24 = 2³ * 3¹ има 3+1 = 4 простих делиоца, што је паран број, док 30 = 2 * 3 * 5 има 3 проста делиоца, што је непаран број.)

Такође, конјектура се може исказати преко сумарне Лиувилове функције. Конјектура гласи

$L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leq 0$

за свако n. Овде је $\lambda (k)=(-1)^{\Omega (k)}$ позитивно ако је број простих делилаца целог броја k паран, а негативно ако је непаран. Функција велико омега броји укупан број простих делилаца целог броја.

Оповргавање

Појину конјектуру је оповргао Ц. Б. Хаселгров 1958. године. Он је показао да за конјектуру постоји контрапример, за који је проценио да се налази око броја 1.845 × 10³⁶¹.

Експлицитан контрапример, $n=906180359$ је дао Р. С. Леман 1960; најмањи контрапример је $n=906150257$, а нашао га је Минору Танака 1980.

Појина конјектура не важи за већину вредности $n$ у области $906150257\leq n\leq 906488079$. У овој области функција има максимум од 829 у вредности $n=906316571$.

Литература

• G. Pólya, "Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie." Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31-40.
• Haselgrove, C.B. (1958). „A disproof of a conjecture of Pólya”. Mathematika. 5: 141—145. 
• R.S. Lehman, On Liouville's function. Math. Comp. 14 (1960), 311-320.
• M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tokyo Journal of Mathematics 3, (1980) 187-189.
• Ерик В. Вајсштајн Појина конјектура на сајту Mathworld