Теорија категорија

Категорија са објектима X, Y, Z и морфизмима f, g, g ∘ f, и три идентичка морфизма (нису приказани) 1_X, 1_Y and 1_Z.

Теорија категорија се користи да формализује математику и њене концепте као колекције објеката и стрелица (морфизама). Теорија категорија може да се користи да формализује већ постојеће теорије на вишем нивоу апстракције као што су теорија скупова, теорија прстена и теорија група. Неколико термина који се користе у теорији категорија, укључујући термин "морфизам", има различито значење у осталим областима математике.

Објекти заједнице су дати објектима који су врхови графа, а њихови односи су означени усмереним бридовима, који се називају стрелицама или морфизмима. Свака категорија по дефиницији уз објекте и њихове усмерене односа представљене морфизмима имају задато асоцијативно пресликавање композиције оних парова стрелица које графички следе у низу (крај једне је почетак друге) и за сваки објект је изабрана посебна стрелица идентитета, којој је и почетак и крај на том објекту. На пример, категоријама се може формализовати заједница свих скупова и њихових пресликавања као односа, заједницу свих прстенова и њихових (хомо)морфизама и заједницу свих група и (хомо)морфизама група. У тим примерима се види да заједница може бити велика, тј. да чини класу у смислу теорије скупова.

Неколика термина кориштених у теорији категорија, укључујући термин „морфизам” се користе другачије него у специјализованим ситуацијама у математици. У теорији категорија, морфизми морају испуњавати само опште аксиоме из теорије категорија, а не специфичне аксиоме који се захтевају у неком другом контексту. Дакле, тај концепт је унутрашњи у заданој категорији.

Саундерс Маклејн и Самјуел Ејленберг су увели концепте категорија, функтора и природних трансформација у 1942-45 у њиховом проучавању алгебарске топологије, са циљем аксиоматизације појма природности и још неких својстава која су се понављала у више контекста.

Категорија теорија има практичну примену у теорији програмских језика, нпр. формализације семантике програмских језика и кориштење монада у функцијском програмирању. Аксиоматски приступ структури категорије (елементарна теорија категорија) није зависан од аксиоматике скупова и може се изучавати као један од алтернативних приступа темељима математике (уз теорију скупова, разне теорије типова итд).

Категорије

Категорија C се састоји од следећа три ентитета:

• Класе ob(C), чије елементе зовемо објекти;
• Класе hom(C), чије елементе зовемо морфизми или пресликавања или стрелице. Сваки морфизам f има свој домен a и кодомен b.
  

Израз f : a → b, се чита као "f је морфизам из a у b".
Израз hom(a, b) — користе се и ознаке hom_C(a, b), mor(a, b), или C(a, b) — означава класу свих морфизама изa у b.

• Бинарне операције ∘, коју називамо композиција морфизама, тако да за било која три објекта a, b, и c, важи hom(b, c) × hom(a, b) → hom(a, c). Композицију f : a → b и g : b → c записујемо g ∘ f или gf, регулисана са две аксиоме:
  • Асоцијативност: Ако f : a → b, g : b → c и h : c → d онда је h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, и
  • Идентитет (математика): За сваки објект x, постоји морфизам 1_x : x → x звани идентички морфизам x, тако да за сваки морфизам f : a → b, важи 1_b ∘ f = f = f ∘ 1_a.

Из аксиома се може доказати да постоји тачно један идентички морфизам за сваки објект. Неки аутори одступају од ове дефиниције идентификујући сваки објект са његовим идентичким морфизмом.

Односи међу морфизмима и типови морфизама

Релације између морфизама (попут fg = h) често се приказују графички помоћу комутативних дијаграма, са „тачкама” (врховима) представљајући објекте и „стрелицама” представљајући морфизме. Комутативност дијаграма означава да композиција свих морфизама уздуж било која два усмерена пута с међусобно истим почетком и међусобно истим крајем има исти резултат (не yависи од пута).

Морфизми могу имати било која од седећих својстава. Морфизам f : a → b је:

• мономорфизам (генерализирајући појам инјекције у категорији скупова) ако f ∘ g₁ = f ∘ g₂ повлачи g₁ = g₂ за све морфизме g₁, g₂ : x → a.
• епиморфизам (генерализирајући појам сурјекције у категорији скупова) ако g₁ ∘ f = g₂ ∘ f повлачи g₁ = g₂ за све морфизме g₁, g₂ : b → x.
• биморфизам ако је f истовремено мономорфизам и епиморфизам.
• изоморфизам ако постоји морфизам g : b → a такав да је f ∘ g = 1_b and g ∘ f = 1_a.
• ендоморфизам ако је домен уједно и кодомен, a = b. end(a) означава класу ендоморфизама од a.
• аутоморфизам ако f је изоморфизам с истом доменом и кодоменом. aut(a) означава класу ендоморфизама од a.
• ретракција (сажимање) ако десна инверзија од f постоји, т.ј. ако постоји морфизам g : b → a такав да f ∘ g = 1_b.
• пререз (секција) ако лева инверзија од f постоји, т.ј. ако постоји морфизам g : b → a такав да g ∘ f = 1_a.

За категорију се каже да је балансирана ако је сваки биморфизам изоморфизам. На пример, све су Абелове категорије балансиране.

Свака ретракција је епиморфизам, и сваку пререз је мономорфизам. Надаље, следеће три тврдње су еквивалентне:

• f је мономорфизам и ретракција;
• f је епиморфизам и пререз;
• f је изоморфизам.

Супротна категорија

Свакој категорији $C$ може се придружити супротна категорија $C^{\circ }$ која има исте објекте и морфизме, но морфизми иду у супротни смер. Тако за сваки објект $x$ има своју супротну копију $x^{\circ }$, а за морфизам $f:x\to y$ његову супротну копију $f^{\circ }:y^{\circ }\to x^{\circ }$ са замењеном доменом и кодоменом; при томе је композиција дефинисана с $g^{\circ }\circ f^{\circ }:=(f\circ g)^{\circ }$, а идентитет с $1_{x^{\circ }}:=(1_{x})^{\circ }:x^{\circ }\to x^{\circ }$. Супротна категорија се назива такође двојствена или дуална категорија категорије $C$.

Види још

• Аксиоматска теорија скупова
• Зермело-Френкел теорија скупова
• Теорија група

Литература

• Awodey, Steve (2010) [2006]. Category Theory. Oxford Logic Guides. 49 (2nd изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0. 
• Awodey, Steve (2006). Category Theory. Oxford Logic Guides. 49. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-151382-4. 
• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories. Heldermann Verlag Berlin. Архивирано из оригинала 24. 02. 2021. г. Приступљено 25. 04. 2021. 
• Barr, Michael; Wells, Charles (2012) [1995], Category Theory for Computing Science, Reprints in Theory and Applications of Categories, 22 (3rd изд.) .
• Barr, Michael; Wells, Charles (2005), Toposes, Triples and Theories, Reprints in Theory and Applications of Categories, 12, MR 2178101 .
• Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press. стр. 50—52. ISBN 9780521441780. 
• Freyd, Peter J. (2003) [1964]. Abelian Categories. Reprints in Theory and Applications of Categories. 3. 
• Freyd, Peter J.; Scedrov, Andre (1990). Categories, allegories. North Holland Mathematical Library. 39. North Holland. ISBN 978-0-08-088701-2. 
• Goldblatt, Robert (2006) [1979]. Topoi: The Categorial Analysis of Logic. Studies in logic and the foundations of mathematics. 94. Dover. ISBN 978-0-486-45026-1. 
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007). Category Theory (3rd изд.). Heldermann Verlag Berlin. ISBN 978-3-88538-001-6. .
• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006). Categories and Sheaves. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 332. Springer. ISBN 978-3-540-27949-5. 
• Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2003). Sets for Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-01060-3. 
• Lawvere, F. William; Schanuel, Stephen Hoel (2009) [1997]. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories (2nd изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89485-2. 
• Leinster, Tom (2004). Higher Operads, Higher Categories. Higher Operads. London Math. Society Lecture Note Series. 298. Cambridge University Press. стр. 448. Bibcode:2004hohc.book.....L. ISBN 978-0-521-53215-0. Архивирано из оригинала 2003-10-25. г. Приступљено 2006-04-03. 
• Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 143. Cambridge University Press. ISBN 9781107044241. arXiv:1612.09375 . 
• Lurie, Jacob (2009). Higher Topos Theory. Annals of Mathematics Studies. 170. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14049-0. MR 2522659. arXiv:math.CT/0608040 . 
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (2nd изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98403-2. MR 1712872. 
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999) [1967]. Algebra (2nd изд.). Chelsea. ISBN 978-0-8218-1646-2. 
• Martini, A.; Ehrig, H.; Nunes, D. (1996). „Elements of basic category theory”. Technical Report. 96 (5). 
• May, Peter (1999). A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-51183-2. 
• Mazzola, Guerino (2002). The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-5731-3. 
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, ур. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83414-8. Zbl 1034.18001. 
• Pierce, Benjamin C. (1991). Basic Category Theory for Computer Scientists. MIT Press. ISBN 978-0-262-66071-6. 
• Schalk, A.; Simmons, H. (2005). An introduction to Category Theory in four easy movements (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 2017-03-21. г. Приступљено 2007-12-03.  Notes for a course offered as part of the MSc. in Mathematical Logic, Manchester University.
• Simpson, Carlos (2010). Homotopy theory of higher categories. Bibcode:2010arXiv1001.4071S. arXiv:1001.4071 . , draft of a book.
• Taylor, Paul (1999). Practical Foundations of Mathematics. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 59. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63107-5. 
• Turi, Daniele (1996—2001). „Category Theory Lecture Notes” (PDF). Приступљено 11. 12. 2009. CS1 одржавање: Формат датума (веза) Based on Mac Lane 1998.
• Marquis, Jean-Pierre (2008). From a Geometrical Point of View: A Study of the History and Philosophy of Category Theory. Springer. ISBN 978-1-4020-9384-5. 

Спољашње везе

• Theory and Application of Categories, an electronic journal of category theory, full text, free, since 1995.
• nLab, a wiki project on mathematics, physics and philosophy with emphasis on the n-categorical point of view.
• The n-Category Café, essentially a colloquium on topics in category theory.
• Category Theory, a web page of links to lecture notes and freely available books on category theory.
• Hillman, Chris, A Categorical Primer, CiteSeerX 10.1.1.24.3264  , a formal introduction to category theory.
• Adamek, J.; Herrlich, H.; Stecker, G. „Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 21. 04. 2015. г. Приступљено 25. 04. 2021. 
• "Category Theory" entry by Jean-Pierre Marquis in the Stanford Encyclopedia of Philosophy, with an extensive bibliography.
• List of academic conferences on category theory
• Baez, John (1996). „The Tale of n-categories”.  — An informal introduction to higher order categories.
• WildCats is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, morphisms, categories, functors, natural transformations, universal properties.
• The catsters на сајту YouTube, a channel about category theory.
• Category theory at PlanetMath.org..
• Video archive of recorded talks relevant to categories, logic and the foundations of physics.
• Interactive Web page which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets.
• Category Theory for the Sciences, an instruction on category theory as a tool throughout the sciences.
• Category Theory for Programmers A book in blog form explaining category theory for computer programmers.
• Introduction to category theory.