У геометрији , формула Брамагупте даје површину било ког четвороугла ако су му познате све странице и неки углови. У свом најпознатијем облику користи се за одређивање површине четвороугла који се може уписати у круг .
У свом основном облику, који је налакши за памћење, формула Брамгупте даје површину тетивног четвороугла са страницама a , b , c , d у облику
P
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
{\displaystyle P={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
где је s , полуобим четвороугла, одређен са
s
=
a
+
b
+
c
+
d
2
.
{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}
Површина тетивног четвороугла је највећа могућа површина коју може да има четвороугао са све четири задате странице.
Тетивни четвороугао Површина четвороугла
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
△
A
D
B
{\displaystyle \triangle ADB}
△
B
D
C
{\displaystyle \triangle BDC}
P
=
1
2
a
d
sin
α
+
1
2
b
c
sin
γ
.
{\displaystyle P={\frac {1}{2}}ad\sin \alpha +{\frac {1}{2}}bc\sin \gamma .}
Како је
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
∠
D
A
B
=
180
∘
−
∠
D
C
B
{\displaystyle \angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB}
sin
α
=
sin
γ
{\displaystyle \sin \alpha =\sin \gamma }
P
=
1
2
a
d
sin
α
+
1
2
b
c
sin
α
{\displaystyle P={\frac {1}{2}}ad\sin \alpha +{\frac {1}{2}}bc\sin \alpha }
P
2
=
1
4
sin
2
α
(
a
d
+
b
c
)
2
{\displaystyle P^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}\alpha (ad+bc)^{2}}
4
P
2
=
(
1
−
cos
2
α
)
(
a
d
+
b
c
)
2
{\displaystyle 4P^{2}=(1-\cos ^{2}\alpha )(ad+bc)^{2}\,}
4
P
2
=
(
a
d
+
b
c
)
2
−
c
o
s
2
α
(
a
d
+
b
c
)
2
.
{\displaystyle 4P^{2}=(ad+bc)^{2}-cos^{2}\alpha (ad+bc)^{2}.\,}
Ако се примени косинусна теорема на
△
A
D
B
{\displaystyle \triangle ADB}
△
B
D
C
{\displaystyle \triangle BDC}
D
B
,
{\displaystyle DB,}
a
2
+
d
2
−
2
a
d
cos
α
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
γ
.
{\displaystyle a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma .\,}
Пошто су углови
α
{\displaystyle \alpha }
γ
{\displaystyle \gamma }
cos
γ
=
−
cos
α
{\displaystyle \cos \gamma =-\cos \alpha }
2
cos
α
(
a
d
+
b
c
)
=
a
2
+
d
2
−
b
2
−
c
2
.
{\displaystyle 2\cos \alpha (ad+bc)=a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}.\,}
Када се добијена једнакост уврсти у израз за површину, биће
4
P
2
=
(
a
d
+
b
c
)
2
−
1
4
(
a
2
+
d
2
−
b
2
−
c
2
)
2
{\displaystyle 4P^{2}=(ad+bc)^{2}-{\frac {1}{4}}(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}
16
P
2
=
4
(
a
d
+
b
c
)
2
−
(
a
2
+
d
2
−
b
2
−
c
2
)
2
,
{\displaystyle 16P^{2}=4(ad+bc)^{2}-(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2},\,}
Уколико се израз растави коришћењем формуле за разлику квадрата:
16
P
2
=
(
2
(
a
d
+
b
c
)
+
a
2
+
d
2
−
b
2
−
c
2
)
(
2
(
a
d
+
b
c
)
−
a
2
−
d
2
+
b
2
+
c
2
)
{\displaystyle 16P^{2}=(2(ad+bc)+a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})(2(ad+bc)-a^{2}-d^{2}+b^{2}+c^{2})\,}
=
(
(
a
+
d
)
2
−
(
b
−
c
)
2
)
(
(
b
+
c
)
2
−
(
a
−
d
)
2
)
{\displaystyle =((a+d)^{2}-(b-c)^{2})((b+c)^{2}-(a-d)^{2})\,}
=
(
a
+
d
+
b
−
c
)
(
a
+
d
+
c
−
b
)
(
a
+
b
+
c
−
d
)
(
d
+
b
+
c
−
a
)
.
{\displaystyle =(a+d+b-c)(a+d+c-b)(a+b+c-d)(d+b+c-a).\,}
Ако се полуобим означи са
s
=
a
+
b
+
c
+
d
2
,
{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}},}
16
P
2
=
16
(
s
−
a
)
(
s
−
d
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
.
{\displaystyle 16P^{2}=16(s-a)(s-d)(s-b)(s-c).\,}
Коначна формула се добија кореновањем последње једнакости:
P
=
(
s
−
a
)
(
s
−
d
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
.
{\displaystyle P={\sqrt {(s-a)(s-d)(s-b)(s-c)}}.}
У случају да четвороугао није тетиван, формула Брамагупте се може уопштити узимањем у обзир величина два наспрамна угла четвороугла:
P
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
a
b
c
d
cos
2
θ
{\displaystyle P={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}}
где је угао θ једнак половини њиховог збира. Овде није важно која два угла ће се бити изабрана, јер је полузбир величина друга два угла у четвороуглу допуна угла θ до опруженог угла. Како је cos(180° − θ) = −cosθ, биће cos²(180° − θ) = cos²θ.
Овај облик се понекад назива Бретшнајдерова формула , али постоје извори[1]
P
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
1
4
(
a
c
+
b
d
+
p
q
)
(
a
c
+
b
d
−
p
q
)
{\displaystyle P={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}\,}
где су p и q дужине дијагонала четвороугла.
Како је особина тетивног четвороугла да збир наспрамних углова има 180°, угао θ у горњој формули ће имати 90°, па је други елемент под кореном једнак
a
b
c
d
cos
2
θ
=
a
b
c
d
cos
2
90
∘
=
a
b
c
d
⋅
0
=
0
,
{\displaystyle abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}90^{\circ }=abcd\cdot 0=0,\,}
одакле следи основни облик Брамагуптине формуле.
Херонова формула за површину троугла је специјалан случај формуле Брамагупте који се добија ако се узме да је d = 0.
Однос између основне формуле Брамгупте и њеног уопштења је сличан ономе између Питагорине теореме и косинусне теореме .
