1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯

С Википедије, слободне енциклопедије
Архимедова фигура са a = 3/4

У математици, бесконачан низ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · је пример једног од првог бесконачног низа који се сумирао у историји математике; коришћен је од стране Архимеда 250-200. п. н. е.[1] Како је геометријски низ са првим изразом 1/4 и количником 1/4, његов збир је

Визуелне демонстрације[уреди | уреди извор]

3с = 1.

Ред 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · даје се у неким посебно једноставним визуелним демонстрацијама јер се квадрат и троугао могу поделити на четири слична дела, од којих сваки садржи 1/4 подручја оригинала.

На слици лево,[2][3] ако се узима да велики квадрат има површину 1, онда највећи црни квадрат има површину (1/2) (1/2) = 1/4. Исто тако, други по величини црни квадрат има површину 1/16, а трећи по величини црни квадрат има површину 1/64. Подручје обухваћени црним квадратима заједно је стога 1/4 + 1/16 + 1/64 + · · ·, и то је такође област коју заузимају сиви квадрати и бели квадрати. Како ове три области покривају јединични квадрат, цифра показује да је

Архимедова илустрација, приложена на врху,[4] била је мало другачија, ближе једначини

3с = 1 поново

Погледајте испод за детаље о Архимедовим тумачењима.

Иста геометријска стратегија такође ради за троуглове, као на слици на десној страни:[2][5][6] ако велики троугао има површину 1, онда највећи црни троугао има површину 1/4, и тако даље. Фигура као целина има самосличност између великог троугла и горњег под-троугла. Сродна конструкција израде фигуре сличне свим трима на његовим угловима производи троугао Сјерпињског.[7]

Архимедов доказ[уреди | уреди извор]

Ова крива је парабола. Тачке на секант линији АЕ су подједнако распоређени. Архимед је показао да је збир области троуглова АБЦ и ЦДЕ 1/4 из области троугла АЦЕ. Он је тада градио још један слој од четири троугла на врху оних, чији је збир области 1/4 од суме области АБЦ и ЦДЕ, а затим још један слој од осам троуглова на врху, имајући 1/4 тог подручја, и тако даље. Он је закључио да је подручје између секант линије и криве 4/3 подручја троугла АЦЕ.

Архимед наилази на низ у свом раду Квадратура параболе. Он је проналашао подручје унутар параболе методом исцрпљености, и добио низ троуглова; свака фаза изградње додаје површину 1/4 пута на подручје претходне фазе. Његов жељени резултат на тој укупној области је 4/3 подручја прве фази. Да би стигао тамо, он узима паузу од параболе да уведе алгебарски леме:

Предлог 23. Дат је низ области А, Б, C, D, ..., З, од чега је А највећи, и сваки је једнак четири пута следећем у реду, затим [8]

Архимед доказује предлог првим обрачунавањем

С друге стране,

Одузимањем ове једначине од претходне једначине даје

и додајући А обема странама даје жељени резултат.

Данас, више стандардна формулација у Архимедовог предлога је да су делимичне суме низа 1 + 1/4 + 1/16 + · · · :

Овај облик се може доказати множењем обе стране 1 - 1/4 и посматрањем да сви, али први и последњи изрази на левој страни једначине отказују у паровима. Иста стратегија ради за било који коначни геометријски низ.

Граница[уреди | уреди извор]

Архимедов Предлог 24 примењује коначну (али неодређену) суму у Предлогу 23 на подручју унутар параболе са дуплим свођењем на апсурд. Он баш не[10] узима границу наведених парцијалних сума, али у модерној математици овај корак је довољно лак:

Пошто се збир бескрајног низа дефинише као граница његових парцијалних сума,

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ Shawyer & Watson pp. 3.
  2. ^ а б Nelsen & Alsina pp. 74.
  3. ^ Ajose & Nelson.
  4. ^ Heath 1953, стр. 250
  5. ^ Stein 1999, стр. 46
  6. ^ Mabry.
  7. ^ Nelson & Alsina, стр. 56
  8. ^ This is a quotation from Heath's English translation (p.249).
  9. ^ This presentation is a shortened version of Heath pp. 250.
  10. ^ Modern authors differ on how appropriate it is to say that Archimedes summed the infinite series.

Литература[уреди | уреди извор]