Јакобијан

Из Википедије, слободне енциклопедије

Јакобијева матрица је матрица парцијалних извода првог реда неке функције и има облик:

Јакобијан је детерминанта Јакобијеве матрице. Добила је назив по немачком математичару Карлу Густаву Јакобију.

Дефиниција[уреди]

Нека је функција са Еуклидова n- простора на Еуклидов m-простор. Таква функција има м компоненти:

Тада парцијални изводи тих функција чине Јакобијеву матрицу:

Матрица се означава и као:

У случају да су ортогоналне Декартове координате тада матрица одговара градијенту компоненти функције, тј. .

Јакобијан[уреди]

У случају да је Јакобијева матрица је квадратна матрица па има детерминанту, која се назива Јакобијева детерминанта или Јакобијан. Јакобијан се користи за израчунавања вишеструких интеграла заменом координатнога система тако да следи:

Сферни координатни систем[уреди]

У случају трансформације сфернога координатнога система заданога са (r, θ, φ) на картезијев координатни систем једначине трансформације су:

Јакобијева матрица је тада дана са:

Јакобијан је детерминанта те матрице тј:

Односно запремински елемент је тада:

Поларни координатни систем[уреди]

У поларном координатном систему једначине трансформације су:

Јакобијева матрица је дана са: Јакобијева детерминанта или Јакобијан је онда једнак . Због тога се двоструки интеграли могу из картезијевога система трансформисати у поларни систем на следећи начин:

Литература[уреди]

  • Јакобијан
  • Kaplan, W. Advanced Calculus, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley 1984.
  • Herbert Federer: Geometric measure theory. 1 Auflage. Springer, Berlin 1996, ISBN 3-540-60656-4