Јакобијеви полиноми

Из Википедије, слободне енциклопедије

Јакобијеви полиноми, често звани и хипергеометријски полиноми су класични ортогонални полином представљени формулом:

Гегенбауерови полиноми, Лежандрови полиноми и Чебишевљеви полиноми представљају специјални случај Јакобијевих полинома. Јакобијеве полиноме открио је 1859. немачки математичар Карл Густав Јакоби.

Диференцијална једначина[уреди]

Јакобијеви полиноми представљају решење линеране хомогене диференцијалне једначине другога реда:

Дефиниција[уреди]

Јакобијеви полиноми дефинисани су помоћу хипергеометријске функције:

где представља Поххамеров симбол. У том случају развојем се добија:

Родригезова формула[уреди]

Јакобијеви полиноми могу да се дефинишу и помоћу Родригезове формуле:

Генерирајућа функција[уреди]

Генерирајућа функција Јакобијевих полинома је:

где

Рекурзија[уреди]

Релације рекурзије за Јакобијеве полиноме су:

Неколико првих полинома је:

Израз за реални аргумент[уреди]

За реално x Јакобијеви полиноми могу да се пишу и као:

где су s ≥ 0 и n-s ≥ 0, а за целобројно n

У горњој једначини Γ(z) је гама функција. У специјалном случају, када су n, n+α, n+β, and n+α+β ненегативни цели бројеви Јакобијеви полиноми могу да се напишу као:

Ортогоналност[уреди]

Јакобијеви полиноми за α > -1 и β > -1 задовољавају услов ортогоналности:

Тежинска функција је била:

.

Они нису ортонормални, а за нормализацију:

Симетрија[уреди]

Јакобијеви полиноми задовољавају следеће релације симетрије:

па је

Асимптотски изрази[уреди]

За x унутар интервала [-1, 1], асимптотска вредност Pn(α,β) за велики n дан је:

где

Асимптоте близу ±1 дане су са:

Веза са Вигнеровом d-матрицом[уреди]

Јакобијеви полиноми повезани су са Вигнеровом D-матрицом:

Литература[уреди]