Јакобијеви полиноми

Из Википедије, слободне енциклопедије

Јакобијеви полиноми, често звани и хипергеометријски полиноми су класични ортогонални полином представљени формулом:


P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = 
\frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
\sum_{m=0}^n {n\choose m}
\frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m~.

Гегенбауерови полиноми, Лежандрови полиноми и Чебишевљеви полиноми представљају специјални случај Јакобијевих полинома. Јакобијеве полиноме открио је 1859. немачки математичар Карл Густав Јакоби.

Диференцијална једначина[уреди]

Јакобијеви полиноми представљају решење линеране хомогене диференцијалне једначине другога реда:


(1-x^2)y'' + (\beta-\alpha - (\alpha + \beta + 2)x )y'+ n(n+\alpha+\beta+1) y = 0.\,

Дефиниција[уреди]

Јакобијеви полиноми дефинисани су помоћу хипергеометријске функције:

P_n^{(\alpha,\beta)}(z)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!}
\,_2F_1\left(-n,1+\alpha+\beta+n;\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right) ,

где (\alpha+1)_n представља Поххамеров симбол. У том случају развојем се добија:


P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = 
\frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
\sum_{m=0}^n {n\choose m}
\frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m~.

Родригезова формула[уреди]

Јакобијеви полиноми могу да се дефинишу и помоћу Родригезове формуле:

P_n^{(\alpha,\beta)} (z)
= \frac{(-1)^n}{2^n n!} (1-z)^{-\alpha} (1+z)^{-\beta}
\frac{d^n}{dz^n} \left\{ (1-z)^\alpha (1+z)^\beta (1 - z^2)^n \right\}~.

Генерирајућа функција[уреди]

Генерирајућа функција Јакобијевих полинома је:

 \sum_{n=0}^\infty P_n^{(\alpha,\beta)}(z) w^n
 = 2^{\alpha + \beta} R^{-1} (1 - w + R)^{-\alpha} (1 + w + R)^{-\beta}~,

где

 R = R(z, w) = \big(1 - 2zw + w^2\big)^{1/2}~,

Рекурзија[уреди]

Релације рекурзије за Јакобијеве полиноме су:

\begin{align}
&2n (n + \alpha + \beta) (2n + \alpha + \beta - 2) 
    P_n^{(\alpha,\beta)}(z) \\
&\qquad= (2n+\alpha + \beta-1) \Big\{ (2n+\alpha + \beta)(2n+\alpha+\beta-2) z 
    +  \alpha^2 - \beta^2 \Big\} P_{n-1}^{(\alpha,\beta)}(z) \\
&\qquad\qquad - 2 (n+\alpha - 1) (n + \beta-1) (2n+\alpha + \beta) 
    P_{n-2}^{(\alpha,\beta)}(z)~, \quad n = 2,3,\dots
\end{align}

Неколико првих полинома је:

P_0^{(\alpha,\beta)}(z) = 1
P_1^{(\alpha,\beta)}(z) = \frac{1}{2} \left[ 2(\alpha+1) + 
(\alpha+\beta+2)(z-1)\right]
P_2^{(\alpha,\beta)}(z) = \frac{1}{8} \left[ 4(\alpha+1)(\alpha+2) + 
4(\alpha+\beta+3)(\alpha+2)(z-1) + (\alpha+\beta+3)(\alpha+\beta+4) (z-1)^2\right]

Израз за реални аргумент[уреди]

За реално x Јакобијеви полиноми могу да се пишу и као:

P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=
\sum_s
{n+\alpha\choose s}{n+\beta \choose n-s}
\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}

где су s ≥ 0 и n-s ≥ 0, а за целобројно n


{z\choose n} = \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(z-n+1)},

У горњој једначини Γ(z) је гама функција. У специјалном случају, када су n, n+α, n+β, and n+α+β ненегативни цели бројеви Јакобијеви полиноми могу да се напишу као:

\begin{align}
&P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=  (n+\alpha)! (n+\beta)! \\
&\qquad \times \sum_s
\left[s! (n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!\right]^{-1} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}.
\end{align}

Ортогоналност[уреди]

Јакобијеви полиноми за α > -1 и β > -1 задовољавају услов ортогоналности:

\begin{align}
&\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} 
P_m^{(\alpha,\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) \; dx \\
&\quad=
\frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1}
\frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!} \delta_{nm}
\end{align}

Тежинска функција је била:

 (1 - x)^\alpha (1+x)^\beta .

Они нису ортонормални, а за нормализацију:

P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n}.

Симетрија[уреди]

Јакобијеви полиноми задовољавају следеће релације симетрије:

P_n^{(\alpha, \beta)} (-z) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (z);

па је

P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n} .

Асимптотски изрази[уреди]

За x унутар интервала [-1, 1], асимптотска вредност Pn(α,β) за велики n дан је:

 P_n^{(\alpha,\beta)}(\cos \theta) = n^{-1/2} \cos (N\theta + \gamma) + O(n^{-3/2})~,

где

\begin{align}
k(\theta) &= \pi^{-1/2} \sin^{-\alpha-1/2} \frac{\theta}{2} \cos^{-\beta-1/2} \frac{\theta}{2}~,\\
N &= n + \frac{\alpha+\beta+1}{2}~,\\
\gamma &= - (\alpha + \frac{1}{2}) \frac{\pi}{2}~,
\end{align}

Асимптоте близу ±1 дане су са:

\begin{align}
\lim_{n \to \infty} n^{-\alpha}P_n^{\alpha,\beta}\left(\cos \frac{z}{n}\right)
 &= \left(\frac{z}{2}\right)^{-\alpha} J_\alpha(z)~,\\ 
\lim_{n \to \infty} n^{-\beta}P_n^{\alpha,\beta}\left(\cos \left[ \pi - \frac{z}{n} \right] \right)
 &= \left(\frac{z}{2}\right)^{-\beta} J_\beta(z)~,
\end{align}

Веза са Вигнеровом d-матрицом[уреди]

Јакобијеви полиноми повезани су са Вигнеровом D-матрицом:


d^j_{m'm}(\phi) =\left[
\frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}\right]^{1/2}
\left(\sin\frac{\phi}{2}\right)^{m-m'}
\left(\cos\frac{\phi}{2}\right)^{m+m'}
P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi).

Литература[уреди]