С Википедије, слободне енциклопедије
Аркус котангенс Основне особине Парност непарна Домен (-∞,∞) Кодомен (-π,0) Специфичне вредности Вредност у +∞ 0 Вредност у -∞ 0 Вредност у 0+ π/2 Вредност у 0- -π/2 Специфичне особине Асимптоте y = 0
Аркус котангенс је функција инверзна функцији котангенса на интервалу њеног домена [-π/2,π/2]. Користи се за одређивање величине угла када је позната вредност његовог котангенса. Може се дефинисати следећом функцијом:
arcctg
x
=
ctg
−
1
x
=
i
2
(
log
(
1
−
i
x
)
−
log
(
1
+
i
x
)
)
{\displaystyle \operatorname {arcctg} \;x=\operatorname {ctg} ^{-1}x={\frac {i}{2}}\left(\log \left(1-{\frac {i}{x}}\right)-\log \left(1+{\frac {i}{x}}\right)\right)}
При чему треба важити да је x различито од нуле.
Следе неке од формула које се везују за аркус котангенс:
arcctg
x
=
π
2
−
arctan
x
{\displaystyle \operatorname {arcctg} \;x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x}
arcctg
(
−
x
)
=
π
−
arcctg
x
{\displaystyle \operatorname {arcctg} (-x)=\pi -\operatorname {arcctg} \;x\!}
arcctg
1
x
=
π
2
−
arcctg
x
=
arctan
x
,
{\displaystyle \operatorname {arcctg} \;{\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcctg} \;x=\arctan x,\ }
x
>
0
{\displaystyle \ x>0}
arcctg
1
x
=
3
π
2
−
arcctg
x
=
π
+
arctan
x
,
{\displaystyle \operatorname {arcctg} \;{\frac {1}{x}}={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arcctg} \;x=\pi +\arctan x,\ }
x
<
0
{\displaystyle \ x<0}
Извод:
d
d
x
arcctg
x
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcctg} \;x{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}}
Представљање у форми интеграла:
arcctg
x
=
∫
x
∞
1
x
2
+
1
d
x
{\displaystyle \operatorname {arcctg} \;x{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx}
Представљање у форми бесконачне суме:
arcctg
x
=
π
2
−
arctan
x
=
π
2
−
(
z
−
x
3
3
+
x
5
5
−
x
7
7
+
⋯
)
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
2
n
+
1
;
|
x
|
≤
1
x
≠
i
,
−
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcctg} x&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan x\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |x|\leq 1\qquad x\neq i,-i\end{aligned}}}
