С Википедије, слободне енциклопедије
Аркус синус Основне особине Парност непарна Домен [-1,1] Кодомен [-π/2,π/2] Специфичне вредности Нуле 0 Специфичне особине Превоји (0,0) Улазак у нулу под углом π/4
Аркус синус је функција инверзна синусној функцији на њеном ограниченом интервалу [-π/2,π/2]. Користи се за одређивање величине угла у овом опсегу, када је позната вредност његовог синуса.
Следе неке од формула које се везују за аркус синус:
arcsin
−
x
=
π
2
−
arccos
x
{\displaystyle \arcsin {-x}={\frac {\pi }{2}}-\arccos {x}}
arcsin
−
x
=
−
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin {-x}=-\arcsin {x}}
arcsin
1
x
=
a
r
c
c
o
s
e
c
x
{\displaystyle \arcsin {\frac {1}{x}}=arccosec{x}}
Преко формуле за половину угла се добија и:
arcsin
x
=
2
a
r
c
t
g
x
1
+
1
−
x
2
{\displaystyle \arcsin x=2arctg{\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
Извод:
d
d
x
arcsin
x
=
1
1
−
x
2
;
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin x{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1}
Представљање у форми интеграла:
arcsin
x
=
∫
0
x
1
1
−
z
2
d
z
,
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \arcsin x{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1}
Представљање у форми бесконачне суме:
arcsin
z
=
z
+
(
1
2
)
z
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
;
|
z
|
≤
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&{}=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}
