Ајнштајнова нотација

Из Википедије, слободне енциклопедије

У линеарној алгебри, и посебно у областима физике које је користе, Ајнштајнова нотација или сумациона конвенција је конвенција у математичкој нотацији при којој се подразумева, осим уколико није експлицитно другачије напоменуто, сумација по индексима који су поновљени, па се симбол за суму изоставља. У општем случају, када се ради о коваријантним и контраваријантним величинама, сумација се подразумева по поновљеним горњим (контраваријантним) и доњим (коваријантним) индексима. Конвенција је добила име по Алберту Ајнштајну који ју је увео 1916. године у раду у коме је изложио основе опште теорије релативности како би упростио нотацију операција са тензорима.[1] Забележена је анегдота у којој се Ајнштајн нашалио у писму једном пријатељу:[2]

Викицитати „Направио сам велико откриће у математици; укинуо сам знак за сумацију сваки пут када се сумира по индексу који се два пута понавља...”

Дефиниција[уреди]

Често јавља случај када се сумирају променљиве по индексу који се понавља па је економично изоставити знак за сумацију:

У овој форми, где се ради о оба доња индекса, може се применити у општем случају када се ради о било каквој сумацији, мада то није уобичајено, већ се ова конвенција користи углавном када се сумирају компоненте тензора па се онда мора водити рачуна о начину на који се те компоненте трансформишу при промени базиса. Тада се коваријантне компоненте пишу са доњим индексом, а контраваријантне са горњим индексом, па правило у овом случају предвиђа да се подразумева сумирање само по поновљеном горњем и доњем индексу:

Ова разлика се може игнорисати једино када се ради у простору над пољем реалних бројева са фиксираним базисом, па се тада могу користити само доњи индекси.

Примери[уреди]

Уколико је дат базис векторског простора , вектор x у том базису може да се репрезентује бројном колоном чији су елементи координате вектора

Тада вектор x може да се изрази преко векторског збира базисних вектора помножених координатама, што у Ајнштајновој нотацији има облик

што би, у уобичајеној нотацији вектора као збира скалираних базисних вектора и игноришући контраваријантност координата, било

Стандардни скаларни производ вектора x и y, у апсолутном базису, у Ајнштајновој нотацији је

где су αi и βi координате вектора x и y, респективно, или уопштено за произвољан базис у унитарном простору

где је метрички тензор, a звездица означава комплексно конјугован број. Конвенционално написано, ово у ствари значи

где је скаларни производ i-тог и j-тог базисног вектора.

Ако је дата матрица са m врста и n колона, елемент матрице се може означити као где горњи индекс означава i-ту врсту, а доњи j-ту колону. Матрично множење се тада може компактно изразити као

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. Einstein, Albert (1997) [1916]. „B. Mathematical Aids to the Formulation of Generally Covariant Equations (енглески превод); B. Mathematische Hilfsmittel für Aufstellung allgemein kovarianter Gleichungen (оригинал)”. Ур.: A. J. Kox, Martin J. Klein, Robert Schulmann. The Foundation of the General Theory of Relativity (PDF) (на језику: ((en)) ((de))) (The Collected Papers of Albert Einstein, Volume 6 изд.). Princeton University Press. Приступљено 25. децембар 2010. 
  2. Pais, Abraham (2005). „The Einstein Grossmann Collaboration”. Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein (на језику: ((en))). Oxford University Press. стр. 216. ISBN 0-19-280672-6. ISBN 978-0-19-280672-7. Приступљено 25. децембар 2010. »I have made a great discovery in mathematics; I have suppressed the summation sign every time that the summation must be made over an index which occurs twice...« 

Литература[уреди]

Спољашње везе[уреди]