Бернулијева расподела

С Википедије, слободне енциклопедије

Шаблон:Бернулијева расподела

У теорији вероватноће и статистици, Бернулијева расподела, названа по швајцарском математичару Јакобу Бернулију, [1] је дискретна расподела вероватноће случајне променљиве која узима вредност 1 са вероватноћом а вредност 0 са вероватноћом . Мање формално, може се сматрати моделом за скуп могућих исхода било ког појединачног експеримента који поставља питање да-не . Таква питања довести до исхода који су Булови резултати: један бит чија је вредност успех / да / истина / један од вероватноћа p и неуспех / не / лажно / нула са вероватноћа К. Може се користити за представљање (могуће пристрасног) бацања новчића где би 1 и 0 представљали „главе“ и „писма“ (или обрнуто), а p би представљало вероватноћу да ће новчић пасти на главу или реп, респективно.

Бернулијева расподела је посебан случај биномне дистрибуције где се спроводи једно испитивање (тако да би n било 1 за такву биномну дистрибуцију). То је такође посебан случај дистрибуције у две тачке, за коју могући исходи не морају бити 0 и 1.

Својства[уреди | уреди извор]

Ако је случајна променљива са овом расподелом, онда је:

Функција масе вероватноће функције ове расподеле, преко могућих исхода к, је

[2]

Такође се може изразити као:

или се може изразити као:

Бернулијева расподела је посебан случај биномске расподеле са

Куртозис иде у бесконачност за високе и ниске вредности параметра али за параметар расподела у две тачке укључујући Бернулијеву расподелу има нижи вишак ексцеса од било које друге расподеле вероватноће, тј. −2.

Бернулијева расподела за формира експоненцијалну породицу .

Процена максималне вероватноће за параметар на основу случајно одабраног узорка је средња вредност узорка .

Значење[уреди | уреди извор]

Очекивана вредност Бернулијеве случајно одабране променљиве је

Ово знамо због чињенице да је за Бернулијеву расподељену случајну променљиву са и налазимо:

[2]

Променљивост[уреди | уреди извор]

Расподела варијансе Бернулија је:

Прво можемо наћи:о

Из овога се да уследити:

Са овим резултатом лако је доказати да ће за било коју Бернулијеву расподелу њена варијанса имати вредност у простирању .

Искривљеност (Skewness)[уреди | уреди извор]

Искривљеност представља . Када усвојимо стандардизовану Бернулијеву расподељену случајну променљиву налазимо да ова случајна променљива достиже са вероватноћом и постиже са вероватноћом . Тако можемо да добијемо

Виши моменти и кумуланти[уреди | уреди извор]

Сви сирови(нобрађени) моменти су једнаки због чињенице да је и .


Централни тренутак реда даје следећу једначину:

Првих шест централних момената су следећи:

Док виши централни моменти могу се компактније изразити у терминима и , што је приказано испод:

Првих шест кумуланата су следећи:

Повезане расподеле[уреди | уреди извор]

  • Ако су независне, идентично распоређене ( i.i.d. ) случајне променљиве, сва Бернулијева испитивања са вероватноћом успеха p, онда се њихов збир распоређује према биномној расподели са параметрима n и p :
    ( биномна расподела ).
Бернулијева расподела је једноставна , такође написана као функција:
  • Категоријска расподела је генерализација Бернулијеве расподеле за променљиве са било којим константним бројем дискретних вредности.
  • Бета дистрибуција је коњуговани претходник Бернулијеве расподеле.
  • Геометријска дистрибуција моделира број независних и идентичних Бернулијевих покушаја потребних за постизање једног успеха.
  • Ако , онда има Радемахерову дистрибуцију .

Такође видети[уреди | уреди извор]

Додатна литература[уреди | уреди извор]

Спољашње везе[уреди | уреди извор]

  1. ^ James Victor Uspensky: Introduction to Mathematical Probability, McGraw-Hill, New York 1937, page 45
  2. ^ а б Bertsekas, Dimitri P. (2002). Introduction to Probability. Tsitsiklis, John N., Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Belmont, Mass.: Athena Scientific. ISBN 188652940X. OCLC 51441829.