Бернулијеви полиноми

Из Википедије, слободне енциклопедије

Бернулијеви полиноми у математици представљају полиноме, који су добили име према Јакобу Бернулију, а сусрећу се приликом изучавања многих специјалних функција, а посебно Риманове зета функције и Хурвицове зета функције.

Општи облик[уреди]

B_n(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} B_{n-k} x^k, где су {n \choose k}биномни коефицијенти, а \ B_kБернулијеви бројеви.

Или

B_n(x)= \sum_{m=0}^n \frac{1}{m+1} \sum_{k=0}^m (-1)^k {m \choose k} (x+k)^n.

Генерирајућа функција и чланови[уреди]

Генерирајућа функција Бернулијевих полинома је:

\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}.
Бернулијеви полиноми

Неколико првих Бернулијевих полинома:

\ B_0(x)=1,
B_1(x)=x-\frac{1}{2},
B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6},
B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x,
B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}x,
B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x,
B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}.

Својства[уреди]

\ B_n(0)=B_n.

Рачунајући извод генерирајуће функције по x добија се:

t^{2}\ e^{tx}\frac{1}{e^t-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B'_n(x)}{n!}t^n.

Лева страна разликује се од генерирајуће функције само по t, па је:

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B'_n(x)}{n!}t^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n(x)}{n!}t^{n+1}.

Из чега се добија

\frac{B'_n(x)}{n!}=\frac{B_{n-1}(x)}{(n-1)!}, а онда је
\ B'_n(x)=n B_{n-1}(x).

Из последње једначине добија се правило интегрирања Бернулијевих полинома:

\ B_n(x)=B_n+n\int_0^x B_{n-1}(t)\,dt.
\int_0^1B_n(x)dx=1 (када је n>0 )

Следећа сума позната као Фаулхаберова формула даде се приказати помоћу Бернулијевих полинома:

\sum_{k=0}^{x} k^p = \frac{B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}.

Интеграли[уреди]

\int_a^x B_n(t)\,dt =
\frac{B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}

Definite integrals

\int_0^1 B_n(t) B_m(t)\,dt =
(-1)^{n-1} \frac{m! n!}{(m+n)!} B_{n+m}
\quad \mbox { for } m,n \ge 1

Литература[уреди]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720