Бернулијеви полиноми

Из Википедије, слободне енциклопедије

Бернулијеви полиноми у математици представљају полиноме, који су добили име према Јакобу Бернулију, а сусрећу се приликом изучавања многих специјалних функција, а посебно Риманове зета функције и Хурвицове зета функције.

Општи облик[уреди]

, где су биномни коефицијенти, а Бернулијеви бројеви.

Или

Генерирајућа функција и чланови[уреди]

Генерирајућа функција Бернулијевих полинома је:

Бернулијеви полиноми

Неколико првих Бернулијевих полинома:

Својства[уреди]

.

Рачунајући извод генерирајуће функције по x добија се:

.

Лева страна разликује се од генерирајуће функције само по t, па је:

.

Из чега се добија

, а онда је
.

Из последње једначине добија се правило интегрирања Бернулијевих полинома:

.
(када је )

Следећа сума позната као Фаулхаберова формула даде се приказати помоћу Бернулијевих полинома:

Интеграли[уреди]

Definite integrals

Литература[уреди]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0-486-61272-0