Бета-функција

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици, бета-функција, позната и као Ојлеров интеграл прве врсте, је специјална функција два комплексна аргумента, дефинисана за \Re(x),\Re(y)>0 интегралом

\Beta(x,y)=\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt.

Доказује се да се бета-функција може изразити у зависности од гама-функције као

\Beta(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)},

одакле се даље изводе сва њена својства. Посебно, за природне бројеве m и n je

\frac1{\Beta(m,n)}=\frac{mn}{m+n}{{m+n}\choose{m}},

тако да се може рећи да бета-функција уопштава биномне коефицијенте. Горња основна релација даје и аналитичко продужење бета-функције до мероморфне функције, дефинисане за све комплексне бројеве x и y, осим полова кад год је један од бројева x, y, или x+y непозитиван цео број.


Бета-функција је очигледно симетрична, односно \Beta(x,y)=\Beta(y,x). Друга важна својства су тригонометријски облик

\Beta(x,y)=2\int_0^{\pi/2}\cos^{2x-1}\theta\sin^{2y-1}\theta\,d\theta

и алтернативни интегрални облик

\Beta(x,y)=\int_0^{\infty}\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt.

Као и биномни коефицијенти, и бета-функција задовољава низ рекурентних једнакости, на пример \Beta(x,y)=\Beta(x+1,y)+\Beta(x,y+1).


Бета-функција је од великог значаја у Математичкој Анализи, Вероватноћи и статистици, Теорији Бројева, Комбинаторици и другим областима Математике, те у Физици, техници и другим областима.

Са апстрактне алгебарске тачке гледишта, интеграл којим се дефинише бета-функција представља адитивну конволуцију два мултипликативна карактера поља реалних бројева {\mathbb R}. На тај начин своју бета-функцију има, на пример, свако нормирано локално поље.

Види још: непотпуна бета-функција.

Доказ релације \Beta(x,y)=\Gamma(x)\Gamma(y)/\Gamma(x+y)[уреди]

Према дефиницији гама-функције, имамо

\Gamma(x)\Gamma(y)=\int_0^{\infty}e^{-u}u^{x-1}\,du\int_0^{\infty}e^{-v}v^{y-1}\,dv.

Овај двоструки–поновљени интеграл по {\mathbb R}^{+}, можемо према Фубинијевој теореми заменити двојним по {\mathbb R}^{+}\times{\mathbb R}^{+}, у којем затим уводимо смену w=u+v. Користећи поново Фубинијеву теорему да заменимо двојни интеграл поновљеним, сада по новим променљивим u и w, добијамо

\Gamma(x)\Gamma(y)=\int_0^{\infty}e^{-w}\left(\int_0^wu^{x-1}(w-u)^{y-1}\,du\right)\,dw,

Коначно, увођењем смене u=wt у унутрашњем интегралу, следи

\Gamma(x)\Gamma(y)=\int_0^{\infty}e^{-w}w^{x+y-1}\,dw\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt=\Gamma(x+y)\Beta(x,y).