Бета-функција

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици, бета-функција, позната и као Ојлеров интеграл прве врсте, је специјална функција два комплексна аргумента, дефинисана за интегралом

Доказује се да се бета-функција може изразити у зависности од гама-функције као

одакле се даље изводе сва њена својства. Посебно, за природне бројеве m и n je

тако да се може рећи да бета-функција уопштава биномне коефицијенте. Горња основна релација даје и аналитичко продужење бета-функције до мероморфне функције, дефинисане за све комплексне бројеве x и y, осим полова кад год је један од бројева x, y, или непозитиван цео број.


Бета-функција је очигледно симетрична, односно . Друга важна својства су тригонометријски облик

и алтернативни интегрални облик

Као и биномни коефицијенти, и бета-функција задовољава низ рекурентних једнакости, на пример .


Бета-функција је од великог значаја у Математичкој Анализи, Вероватноћи и статистици, Теорији Бројева, Комбинаторици и другим областима Математике, те у Физици, техници и другим областима.

Са апстрактне алгебарске тачке гледишта, интеграл којим се дефинише бета-функција представља адитивну конволуцију два мултипликативна карактера поља реалних бројева . На тај начин своју бета-функцију има, на пример, свако нормирано локално поље.

Види још: непотпуна бета-функција.

Доказ релације [уреди]

Према дефиницији гама-функције, имамо

Овај двоструки–поновљени интеграл по , можемо према Фубинијевој теореми заменити двојним по , у којем затим уводимо смену . Користећи поново Фубинијеву теорему да заменимо двојни интеграл поновљеним, сада по новим променљивим u и w, добијамо

Коначно, увођењем смене у унутрашњем интегралу, следи