Мјерљиви простор

У математици, мјерљиви простор или Борелов простор ^[1] је основни објект у теорији мјера. Састоји се од скупа и σ-алгебре на овом скупу и даје информације о скуповима који ће се мјерити.

Дефиниција[уреди | уреди извор]

Размотримо неиспразни скуп $X$ и σ-алгебру ${\mathcal {A}}$ на $X$ . Тада се торка $(X,{\mathcal {A}})$ назива мјерљивим простором.^[2]

Имајте на уму да за разлику од простора за мјерење, није потребна никаква мјера за мјерљиви простор.

Примјер[уреди | уреди извор]

Погледајте скуп

X=\{1,2,3\}.

Једна могућа σ-алгебра би била

{\mathcal {A}}_{1}=\{X,\emptyset \}.

Тада је $(X,{\mathcal {A}}_{1})$ мјерљиви простор. Друга могућа σ-алгебра била био партитивни скуп на $X$ :

{\mathcal {A}}_{2}={\mathcal {P}}(X).

Са овим, други мјерљиви простор на скупу $X$ је дат са $(X,{\mathcal {A}}_{2})$ .

Обични мјерљиви простори[уреди | уреди извор]

Ако је $X$ коначан или пребројив бесконачан, σ-алгебра је већину времена партитивни скуп на $X$ , тако да је ${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X)$ . То доводи до мјерног простора $(X,{\mathcal {P}}(X))$ .

Ако је $X$ тополошки простор, σ-алгебра је најчешће Борелова σ-алгебра ${\mathcal {B}}$ , тако да је ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(X)$ . То доводи до мјерљивог простора $(X,{\mathcal {B}}(X))$ који је заједнички за све тополошке просторе као што су реални бројеви $\mathbb {R}$ .

Двосмисленост са Бореловим просторима[уреди | уреди извор]

Термин Борелов простор се користи за различите типове мјерљивих простора. Може се односити на

било који мјерљиви простор, тако да је синоним за мјерљиви простор као што је горе дефинисано ^[1]
мјерљиви простор који је Борел изоморфан мјерљивом подскупу реалних бројева (из Борелове σ-алгебре)^[3]

Референце[уреди | уреди извор]

^ ^а ^б Sazonov, V.V. (2001) [1994], „Measurable space”, Ур.: Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
^ Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. стр. 18. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3.
^ Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling. 77. Switzerland: Springer. стр. 15. ISBN 978-3-319-41596-3. doi:10.1007/978-3-319-41598-7.

[eommeasurablespace-1] а ^б Sazonov, V.V. (2001) [1994], „Measurable space”, Ур.: Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

[Klenke18-2] Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. стр. 18. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3.

[Kallenberg15-3] Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling. 77. Switzerland: Springer. стр. 15. ISBN 978-3-319-41596-3. doi:10.1007/978-3-319-41598-7.

[1]

[2]

[3]