Пређи на садржај

Боромејски прстенови

С Википедије, слободне енциклопедије
Боромејски прстенови
L6a4
Број укрштаја6
Хиперболичка запремина7.327724753
Број штапића9
Конвејева нотација.1
А–Б нотација632
ТислтвејтL6a4
Остало
наизменични, хиперболички, трибојни


У математици, Боромејски прстенови представљају три просте затворене криве у тродимензионалном простору које су тополошки повезане и не могу се одвојити једна од друге, али се распадају на две одвезане и неповезане петље када се било која од три пресече или уклони. Најчешће се ови прстенови цртају као три круга у равни, по узору на Венов дијаграм, наизменично прелазећи један преко другог и један испод другог на тачкама где се укрштају. Друге тројке кривих се сматрају Боромејским прстеновима све док су тополошки еквивалентне кривама приказаним на овом цртежу.

Боромејски прстенови су названи по италијанској породици Боромео, која је користила кружни облик ових прстенова као елемент свог грба, али су дизајни засновани на Боромејским прстеновима коришћени у многим културама, укључујући Нордијце и Јапан. Коришћени су у хришћанској симболици као знак Светог тројства, а у модерној трговини као лого пива Балантајн, што им је донело алтернативни назив Балантајн прстенови. Физички примери Боромејских прстенова направљени су од повезане ДНК или других молекула, а имају своје аналоге у Ефимовљевом стању и боромејским језгрима, од којих оба имају три компоненте међусобно везане, иако ниједан пар није везан.

Геометријски, Боромејски прстенови се могу реализовати повезаним елипсама, или (користећи темена правилног икосаедра) повезаним златним правоугаоницима. Немогуће их је реализовати помоћу кругова у тродимензионалном простору, али се претпоставља да се могу реализовати копијама било које некружне просте затворене криве у простору. У теорији чворова, може се доказати да су Боромејски прстенови повезани бројањем њихових Фоксових n-бојења. Као везе, они су Брунијански, алтернирајући, алгебарски и хиперболички. У аритметичкој топологији, одређене тројке простих бројева имају аналогна својства повезивања као Боромејски прстенови.

Дефиниција и нотација

[уреди | уреди извор]

У математичким публикацијама које дефинишу Боромејске прстенове, уобичајено је да се то чини као дијаграм везе, цртеж кривих у равни са означеним пресецима који показују која крива или део криве пролази изнад или испод на сваком пресеку. Такав цртеж се може трансформисати у систем кривих у тродимензионалном простору уграђивањем равни у простор и деформисањем кривих нацртаних на њој изнад или испод уграђене равни на сваком пресеку, као што је приказано на дијаграму. Уобичајени дијаграм за Боромејске прстенове састоји се од три једнака круга центрирана у теменима једнакостраничног троугла, довољно близу да њихови унутрашњи делови имају заједнички пресек (као у Веновом дијаграму или три круга која се користе за дефинисање Релоовог троугла). Његови пресеци се наизменично смењују изнад и испод када се посматрају узастопним редоследом око сваког круга;[1][2][3] други еквивалентан начин да се опише однос изнад-испод између три круга је да сваки круг пролази преко другог круга на оба њихова пресека, а испод трећег круга на оба њихова пресека.[4] Две везе се сматрају еквивалентним ако постоји континуирана деформација простора (амбијентална изотопија) која једну преводи у другу, а Боромејски прстенови се могу односити на било коју везу која је у том смислу еквивалентна стандардном дијаграму за ову везу.[3]

У The Knot Atlas, Боромејски прстенови су означени кодом „L6a4”; нотација означава да је ово веза са шест пресека и алтернирајућим дијаграмом, четврта од пет алтернирајућих веза са 6 пресека које је идентификовао Морвен Тислтвејт у листи свих простих веза са до 13 пресека.[5] У табелама чворова и веза у књизи Дејла Ролфсена из 1976. године Knots and Links, која проширује раније спискове из 1920-их година од Александера и Бригса, Боромејским прстеновима је додељена Александер-Бригс нотација „632”, што значи да је ово друга од три везе са 6 пресека и 3 компоненте која је наведена.[5][6] Конвејова нотација за Боромејске прстенове, „.1”, је скраћени опис стандардног дијаграма везе за ову везу.[7]

Историја и симболика

[уреди | уреди извор]
Valknut на камену Стора Хамар I
Симбол хришћанског Светог тројства, адаптиран из рукописа из 13. века
Повезани троуглови у храму Марундесварар

Назив „Боромејски прстенови” потиче од употребе ових прстенова, у облику три повезана круга, у грбу аристократске породице Боромео у северној Италији.[8][9] Сама веза је много старија и појављивала се у облику valknut, три повезана једнакостранична троугла са паралелним странама, на нордијском сликовном камењу које датира из 7. века.[10] Храм Омива у Јапану је такође украшен мотивом Боромејских прстенова, у њиховом конвенционалном кружном облику.[1] Камени стуб у храму Марундесварар из 6. века у Индији приказује три једнакостранична троугла ротирана један у односу на други тако да формирају правилан енеаграм; попут Боромејских прстенова, ова три троугла су повезана, али не и у паровима,[11] али овај образац пресецања описује другачију везу од Боромејских прстенова.[12]

Зајфертова површина Боромејских прстенова

Боромејски прстенови су коришћени у различитим контекстима да означе снагу у јединству.[13] Конкретно, неки су користили овај дизајн да симболизују Свето тројство.[2] Француски рукопис из 13. века који приказује Боромејске прстенове означене као јединство у тројству изгубљен је у пожару 1940-их, али је репродукован у књизи из 1843. године Адолфа Наполеона Дидрона. Дидрон и други су спекулисали да је опис Светог тројства као три једнака круга у 33. певању Дантеовог Раја инспирисан сличним сликама, иако Данте не детаљише геометријски распоред ових кругова.[14][15] Психоаналитичар Жак Лакан је пронашао инспирацију у Боромејским прстеновима као моделу за своју топологију људске субјективности, где сваки прстен представља фундаменталну лакановску компоненту стварности („реално”, „имагинарно” и „симболичко”).[16]

Прстенови су коришћени као лого пива Балантајн, а и даље их користи бренд пива Балантајн, који сада дистрибуира тренутни власник бренда, Pabst Brewing Company.[17][18] Из тог разлога су понекад називани „Балантајн прстенови”.[2][17]

Први рад у теорији чворова који је укључивао Боромејске прстенове био је каталог чворова и веза који је 1876. саставио Питер Тејт.[2] У рекреативној математици, Боромејске прстенове је популаризовао Мартин Гарднер, који је представио Зајфертове површине за Боромејске прстенове у својој колумни „Математичке игре” у часопису Scientific American у септембру 1961.[18] Године 2006, Међународна математичка унија је на 25. Међународном конгресу математичара у Мадриду, Шпанија, одлучила да користи нови лого заснован на Боромејским прстеновима.[1]

Делимични и вишеструки прстенови

[уреди | уреди извор]

У средњовековној и ренесансној Европи, бројни визуелни знаци састоје се од три елемента испреплетена на исти начин као што су Боромејски прстенови приказани (у њиховом конвенционалном дводимензионалном приказу), али са појединачним елементима који нису затворене петље. Примери таквих симбола су рогови на камену из Снолделева[19] и полумесеци Дијане од Поатјеа.[2]

Неке везе у теорији чворова садрже вишеструке конфигурације Боромејских прстенова; једна веза са пет петљи овог типа користи се као симбол у дискордијанизму, заснована на приказу у Principia Discordia.[20]

Математичка својства

[уреди | уреди извор]

Повезаност

[уреди | уреди извор]
Дијаграм алгебарске везе за Боромејске прстенове. Вертикална испрекидана црна линија је Конвејова сфера која раздваја дијаграм на 2-петље.

У теорији чворова, Боромејски прстенови су једноставан пример Брунијанске везе, везе која се не може раздвојити, али се распада на одвојене одвезане петље чим се било која од њених компоненти уклони. Постоји бесконачно много Брунијанских веза, и бесконачно много Брунијанских веза са три криве, од којих су Боромејски прстенови најједноставнији.[12][21]

Постоји више начина да се утврди да су Боромејски прстенови повезани. Један од њих је коришћење Фоксових n-бојења, бојења лукова дијаграма везе целим бројевима по модулу n тако да на сваком пресеку две боје на доњем луку имају исти просек (по модулу n) као боја горњег лука, и да се користе најмање две боје. Број бојења која задовољавају ове услове је инваријанта чвора, независна од дијаграма изабраног за везу. Тривијална веза са три компоненте има бојења, добијених из њеног стандардног дијаграма тако што се за сваку компоненту независно бира боја и одбацује бојења која користе само једну боју. За стандардни дијаграм Боромејских прстенова, с друге стране, исти парови лукова се састају на два доња пресека, што приморава лукове који их прелазе да имају исту боју, из чега следи да једина бојења која задовољавају услове пресека крше услов коришћења више од једне боје. Пошто тривијална веза има много валидних бојења, а Боромејски прстенови немају ниједно, они не могу бити еквивалентни.[3][22]

Боромејски прстенови су алтернирајућа веза, пошто њихов конвенционални дијаграм везе има пресеке који се смењују између проласка преко и испод сваке криве, узастопно дуж криве. Они су такође алгебарска веза, веза која се може разложити Конвејовим сферама на 2-петље. Они су најједноставнија алтернирајућа алгебарска веза која нема дијаграм који је истовремено и алтернирајући и алгебарски.[23] Из Тејтових хипотеза следи да је број пресека Боромејских прстенова (најмањи број пресека у било ком од њихових дијаграма везе) 6, што је број пресека у њиховом алтернирајућем дијаграму.[3]

Облик прстенова

[уреди | уреди извор]
Један могући 3Д распоред Боромејских прстенова: ако су кружни гледано одозго, онда морају да се криве изван једне равни.[3]

Боромејски прстенови се обично цртају тако да се њихови прстенови пројектују као кругови у равни цртежа, али тродимензионални кружни Боромејски прстенови су немогући објекат: није могуће формирати Боромејске прстенове од кругова у тродимензионалном простору.[3]

Општије, [24] су доказали користећи четвородимензионалну хиперболичку геометрију да ниједна Брунијанска веза не може бити тачно кружна. За три прстена у њиховом конвенционалном Боромејском распореду, ово се може видети разматрањем дијаграма везе. Ако се претпостави да се два круга додирују у своје две тачке пресека, онда они леже или у равни или на сфери. У оба случаја, трећи круг мора проћи кроз ову раван или сферу четири пута, а да не лежи у њој, што је немогуће.[25] Други аргумент за немогућност кружних реализација, од стране Хелгеа Тверберга, користи инверзивну геометрију да трансформише било која три круга тако да један од њих постане права, што олакшава доказивање да се друга два круга не повезују са њим да би формирали Боромејске прстенове.[26]

Реализација Боромејских прстенова помоћу елипси
Три повезана златна правоугаоника у правилном икосаедру

Међутим, Боромејски прстенови се могу реализовати помоћу елипси.[1] Оне се могу узети да буду произвољно мале ексцентрицитета: без обзира колико су близу кружном облику, све док нису савршено кружне, могу формирати Боромејске везе ако су правилно позициониране. Реализација Боромејских прстенова помоћу три међусобно нормална златна правоугаоника може се наћи унутар правилног икосаедра повезивањем три супротна пара његових ивица.[1] Свака три одвезана полигона у Еуклидском простору могу се комбиновати, након одговарајуће трансформације скалирања, да би се формирали Боромејски прстенови. Ако су сва три полигона планарна, скалирање није потребно.[27] Посебно, пошто се Боромејски прстенови могу реализовати помоћу три троугла, што је минималан могући број страница за сваку од његових петљи, број штапова Боромејских прстенова је девет.[28] Општије, Метју Кук је поставио хипотезу да се било које три одвезане просте затворене криве у простору, које нису све кругови, могу комбиновати без скалирања да би се формирали Боромејски прстенови. Након што је Џејсон Кантарела предложио могући контрапример, Хју Нелсон Хауардс је ослабио хипотезу да се односи на било које три планарне криве које нису све кругови. С друге стране, иако постоји бесконачно много Брунијанских веза са три компоненте, Боромејски прстенови су једини који се могу формирати од три конвексне криве.[27]

Дужина ужета

[уреди | уреди извор]
Лого Међународне математичке уније

У теорији чворова, дужина ужета чвора или везе је најкраћа дужина флексибилног ужета (радијуса један) која га може реализовати. Математички, таква реализација се може описати глатком кривом чија тубуларна околина радијуса један избегава самопресецања. Минимална дужина ужета Боромејских прстенова није доказана, али најмања вредност која је постигнута реализована је помоћу три копије планарне криве са 2 режња.[1][29] Иако подсећа на ранијег кандидата за минималну дужину ужета, конструисаног од четири кружна лука радијуса два,[30] мало је модификована у односу на тај облик и састоји се од 42 глатка дела дефинисана елиптичким интегралима, што је чини краћом за делић процента од реализације састављене од кружних лукова. Управо ова реализација, за коју се претпоставља да минимизује дужину ужета, коришћена је за лого Међународне математичке уније. Њена дужина је , док је најбоља доказана доња граница за дужину .[1][29]

За дискретни аналог дужине ужета, најкраћи приказ користећи само ивице целобројне решетке, минимална дужина за Боромејске прстенове је тачно . Ово је дужина приказа који користи три целобројна правоугаоника, уписана у Јесенов икосаедар на исти начин као што је приказ златним правоугаоницима уписан у правилан икосаедар.[31]

Хиперболичка геометрија

[уреди | уреди извор]
Комплемент Боромејских прстенова, хиперболичка многострукост формирана од два идеална октаедра, која се понавља у овом приказу. Прстенови су бесконачно удаљени, у теменима октаедра.

Боромејски прстенови су хиперболичка веза: простор који окружује Боромејске прстенове (њихов комплемент везе) допушта комплетну хиперболичку метрику коначне запремине. Иако се хиперболичке везе данас сматрају бројним, Боромејски прстенови су били један од најранијих примера за које је доказано да су хиперболички, 1970-их,[32][33] а овај комплемент везе био је централни пример у видеу Not Knot, произведеном 1991. године од стране Geometry Center.[34]

Хиперболичке многострукости се могу на канонски начин разложити на лепљења хиперболичких полиедара (Епштајн-Пенерова декомпозиција), а за Боромејски комплемент ова декомпозиција се састоји од два идеална правилна октаедра.[33][35] Запремина Боромејског комплемента је где је Функција Лобачевског, а је Каталанова константа.[35] Комплемент Боромејских прстенова је универзалан, у смислу да је свака затворена 3-многострукост разгранати прекривач над овим простором.[36]

Теорија бројева

[уреди | уреди извор]

У аритметичкој топологији, постоји аналогија између чворова и простих бројева у којој се разматрају везе између простих бројева. Тројка простих бројева (13, 61, 937) је повезана по модулу 2 (Редеијев симбол је −1), али су у паровима неповезани по модулу 2 (Лежандрови симболи су сви 1). Стога су ови прости бројеви названи „права Боромејска тројка по модулу 2”[37] или „mod 2 Боромејски прости бројеви”.[38]

Физичке реализације

[уреди | уреди извор]
Чвор мајмунска песница
Пројекат плетења Боромејских прстенова теоретичарке чворова Лора Талман
Молекуларни Боромејски прстенови[39]

Чвор мајмунска песница је у суштини тродимензионални приказ Боромејских прстенова, иако у већини случајева са три слоја.[40] Вајар Џон Робинсон је направио уметничка дела са три једнакостранична троугла направљена од лима, повезана тако да формирају Боромејске прстенове и подсећају на тродимензионалну верзију валкнута.[12][28] Уобичајен дизајн за склопиви дрвени троножац састоји се од три комада изрезбарена из једног комада дрвета, при чему се сваки комад састоји од два дела дрвета, ногу и горњих страна троношца, повезаних са два сегмента дрвета који окружују издужену централну рупу у комаду. Други од три комада пролази кроз сваку од ових рупа, повезујући три комада у узорак Боромејских прстенова. За троношце овог облика се каже да потичу из индијских или афричких ручних радова.[41][42]

У хемији, молекуларни Боромејски прстенови су молекуларни пандани Боромејских прстенова, који су механички испреплетене молекуларне архитектуре. Године 1997, биолог Ченгде Мао и сарадници са Универзитета у Њујорку успели су да конструишу скуп прстенова од ДНК.[43] Године 2003, хемичар Фрејзер Стодарт и сарадници са УКЛА искористили су координациону хемију да конструишу скуп прстенова у једном кораку од 18 компоненти.[39] Структуре Боромејских прстенова коришћене су за описивање кластера племенитих метала заштићених површинским слојем тиолатних лиганада.[44] Библиотеку Боромејских мрежа синтетисали су дизајном Ђузепе Реснати и сарадници путем самосастављања вођеног халогеном везом.[45] Да би се добио молекуларни Боромејски прстен који се састоји од три неједнака циклуса, Џеј С. Сигел и сарадници предложили су синтезу корак по корак.[46]

У физици, квантно-механички аналог Боромејских прстенова назива се стање халоа или Ефимовљево стање, и састоји се од три везане честице које нису везане у паровима. Постојање таквих стања предвидео је физичар Виталиј Ефимов 1970. године, а потврђено је вишеструким експериментима почевши од 2006. године.[47][48] Овај феномен је уско повезан са Боромејским језгром, стабилним атомским језгром које се састоји од три групе честица које би биле нестабилне у паровима.[49] Други аналог Боромејских прстенова у квантној теорији информација укључује уплитање три кубита у Гринбергер-Хорн-Цајлингерово стање.[13]

Референце

[уреди | уреди извор]
  1. ^ а б в г д ђ е Gunn, Charles; Sullivan, John M. (2008), „The Borromean Rings: A video about the New IMU logo”, Ур.: Sarhangi, Reza; Séquin, Carlo H., Bridges Leeuwarden: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture, London: Tarquin Publications, стр. 63—70, ISBN 978-0-9665201-9-4 ; see the video itself at "The Borromean Rings: A new logo for the IMU Архивирано 2021-03-08 на сајту Wayback Machine" [w/video], International Mathematical Union
  2. ^ а б в г д Cromwell, Peter; Beltrami, Elisabetta; Rampichini, Marta (март 1998), „The Borromean rings”, The mathematical tourist, The Mathematical Intelligencer, 20 (1): 53—62, S2CID 189888135, doi:10.1007/bf03024401 
  3. ^ а б в г д ђ Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2018), „Chapter 15: The Borromean Rings Don't Exist”, Proofs from THE BOOK (6th изд.), Springer, стр. 99—106, ISBN 978-3-662-57265-8, doi:10.1007/978-3-662-57265-8_15 
  4. ^ Chamberland, Marc; Herman, Eugene A. (2015), „Rock-paper-scissors meets Borromean rings”, The Mathematical Intelligencer, 37 (2): 20—25, MR 3356112, S2CID 558993, doi:10.1007/s00283-014-9499-4 
  5. ^ а б "Borromean rings", The Knot Atlas.
  6. ^ Rolfsen, Dale (1990), Knots and Links, Mathematics Lecture Series, 7 (2nd изд.), Publish or Perish, Inc., Houston, TX, стр. 425, ISBN 0-914098-16-0, MR 1277811 
  7. ^ Conway, J. H. (1970), „An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties”, Computational Problems in Abstract Algebra (Proc. Conf., Oxford, 1967), Oxford: Pergamon, стр. 329—358, MR 0258014 ; see description of notation, pp. 332–333, and second line of table, p. 348.
  8. ^ Crum Brown, Alexander (децембар 1885), „On a case of interlacing surfaces”, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 13: 382—386 
  9. ^ Schoeck, Richard J. (пролеће 1968), „Mathematics and the languages of literary criticism”, The Journal of Aesthetics and Art Criticism, 26 (3): 367—376, JSTOR 429121, doi:10.2307/429121 
  10. ^ Bruns, Carson J.; Stoddart, J. Fraser (2011), „The mechanical bond: A work of art”, Ур.: Fabbrizzi, L., Beauty in Chemistry, Topics in Current Chemistry, 323, Springer, стр. 19—72, PMID 22183145, doi:10.1007/128_2011_296 
  11. ^ Lakshminarayan, Arul (мај 2007), „Borromean triangles and prime knots in an ancient temple”, Resonance, 12 (5): 41—47, S2CID 120259064, doi:10.1007/s12045-007-0049-7 
  12. ^ а б в Jablan, Slavik V. (1999), „Are Borromean links so rare?”, Proceedings of the 2nd International Katachi U Symmetry Symposium, Part 1 (Tsukuba, 1999), Forma, 14 (4): 269—277, MR 1770213 
  13. ^ а б Aravind, P. K. (1997), „Borromean entanglement of the GHZ state” (PDF), Ур.: Cohen, R. S.; Horne, M.; Stachel, J., Potentiality, Entanglement and Passion-at-a-Distance, Boston Studies in the Philosophy of Science, Springer, стр. 53—59, MR 1739812, doi:10.1007/978-94-017-2732-7_4 
  14. ^ Didron, Adolphe Napoléon (1843), Iconographie Chrétienne (на језику: француски), Paris: Imprimerie Royale, стр. 568—569 
  15. ^ Saiber, Arielle; Mbirika, aBa (2013), „The Three Giri of Paradiso 33” (PDF), Dante Studies (131): 237—272, JSTOR 43490498 
  16. ^ Ragland-Sullivan, Ellie; Milovanovic, Dragan (2004), „Introduction: Topologically Speaking”, Lacan: Topologically Speaking, Other Press, ISBN 978-1-892746-76-4 
  17. ^ а б Glick, Ned (септембар 1999), „The 3-ring symbol of Ballantine Beer”, The mathematical tourist, The Mathematical Intelligencer, 21 (4): 15—16, S2CID 123311380, doi:10.1007/bf03025332 
  18. ^ а б Gardner, Martin (септембар 1961), „Surfaces with edges linked in the same way as the three rings of a well-known design”, Mathematical Games, Scientific American , reprinted as Gardner, Martin (1991), „Knots and Borromean Rings”, The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, University of Chicago Press, стр. 24—33 ; see also Gardner, Martin (септембар 1978), „The Toroids of Dr. Klonefake”, Asimov's Science Fiction, св. 2 бр. 5, стр. 29 
  19. ^ Baird, Joseph L. (1970), „Unferth the þyle”, Medium Ævum, 39 (1): 1—12, JSTOR 43631234, doi:10.2307/43631234, „the stone bears also representations of three horns interlaced” 
  20. ^ „Mandala”, Principia Discordia (4th изд.), март 1970, стр. 43 
  21. ^ Bai, Sheng; Wang, Weibiao (2020), „New criteria and constructions of Brunnian links”, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 29 (13): 2043008, 27, MR 4213076, S2CID 219792382, arXiv:2006.10290 Слободан приступ, doi:10.1142/S0218216520430087 
  22. ^ Nanyes, Ollie (октобар 1993), „An elementary proof that the Borromean rings are non-splittable”, American Mathematical Monthly, 100 (8): 786—789, JSTOR 2324788, doi:10.2307/2324788 
  23. ^ Thistlethwaite, Morwen B. (1991), „On the algebraic part of an alternating link”, Pacific Journal of Mathematics, 151 (2): 317—333, MR 1132393, doi:10.2140/pjm.1991.151.317 Слободан приступ 
  24. ^ Freedman & Skora 1987.
  25. ^ Lindström, Bernt; Zetterström, Hans-Olov (1991), „Borromean circles are impossible”, American Mathematical Monthly, 98 (4): 340—341, JSTOR 2323803, doi:10.2307/2323803 . Note however that write that this reference "seems to incorrectly deal only with the case that the three-dimensional configuration has a projection homeomorphic to" the conventional three-circle drawing of the link.
  26. ^ Tverberg, Helge (2010), „On Borromean rings” (PDF), The Mathematical Scientist, 35 (1): 57—60, MR 2668444, Архивирано из оригинала (PDF) 16. 3. 2021. г., Приступљено 16. 3. 2021 
  27. ^ а б Howards, Hugh Nelson (2013), „Forming the Borromean rings out of arbitrary polygonal unknots”, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 22 (14): 1350083, 15, MR 3190121, S2CID 119674622, arXiv:1406.3370 Слободан приступ, doi:10.1142/S0218216513500831 
  28. ^ а б Burgiel, H.; Franzblau, D. S.; Gutschera, K. R. (1996), „The mystery of the linked triangles”, Mathematics Magazine, 69 (2): 94—102, JSTOR 2690662, MR 1394792, doi:10.1080/0025570x.1996.11996399 
  29. ^ а б Cantarella, Jason; Fu, Joseph H. G.; Kusner, Rob; Sullivan, John M.; Wrinkle, Nancy C. (2006), „Criticality for the Gehring link problem” (PDF), Geometry & Topology, 10 (4): 2055—2116, MR 2284052, arXiv:math/0402212 Слободан приступ, doi:10.2140/gt.2006.10.2055 Слободан приступ 
  30. ^ Cantarella, Jason; Kusner, Robert B.; Sullivan, John M. (2002), „On the minimum ropelength of knots and links” (PDF), Inventiones Mathematicae, 150 (2): 257—286, Bibcode:2002InMat.150..257C, MR 1933586, S2CID 730891, arXiv:math/0103224 Слободан приступ, doi:10.1007/s00222-002-0234-y 
  31. ^ Uberti, R.; Janse van Rensburg, E. J.; Orlandini, E.; Tesi, M. C.; Whittington, S. G. (1998), „Minimal links in the cubic lattice”, Ур.: Whittington, Stuart G.; Sumners, Witt De; Lodge, Timothy, Topology and Geometry in Polymer Science, IMA Volumes in Mathematics and its Applications, 103, New York: Springer, стр. 89—100, MR 1655039, doi:10.1007/978-1-4612-1712-1_9 ; see Table 2, p. 97
  32. ^ Riley, Robert (1979), „An elliptical path from parabolic representations to hyperbolic structures”, Ур.: Fenn, Roger, Topology of Low-Dimensional Manifolds: Proceedings of the Second Sussex Conference, 1977, Lecture Notes in Mathematics, 722, Springer, стр. 99—133, ISBN 978-3-540-09506-4, MR 547459, doi:10.1007/BFb0063194 
  33. ^ а б Ratcliffe, John G. (2006), „The Borromean rings complement”, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, 149 (2nd изд.), Springer, стр. 459—461, ISBN 978-0-387-33197-3, MR 2249478 
  34. ^ Abbott, Steve (јул 1997), „Review of Not Knot and Supplement to Not Knot”, The Mathematical Gazette, 81 (491): 340—342, JSTOR 3619248, S2CID 64589738, doi:10.2307/3619248 
  35. ^ а б William Thurston (март 2002), „7. Computation of volume”, The Geometry and Topology of Three-Manifolds, стр. 165, Архивирано из оригинала (PDF) 27. 7. 2020. г., Приступљено 17. 1. 2012 
  36. ^ Hilden, Hugh M.; Lozano, María Teresa; Montesinos, José María (1983), „The Whitehead link, the Borromean rings and the knot 946 are universal”, Seminario Matemático de Barcelona, 34 (1): 19—28, MR 747855 
  37. ^ Vogel, Denis (2005), Masseyprodukte in der Galoiskohomologie von Zahlkörpern [Масејеви производи у Галоаовој кохомологији бројевних поља], Mathematisches Institut, Georg-August-Universität Göttingen: Seminars Winter Term 2004/2005, Göttingen: Universitätsdrucke Göttingen, стр. 93—98, MR 2206880, doi:10.11588/heidok.00004418 
  38. ^ Morishita, Masanori (2010), „Analogies between knots and primes, 3-manifolds and number rings”, Sugaku Expositions, 23 (1): 1—30, MR 2605747, arXiv:0904.3399 Слободан приступ 
  39. ^ а б Chichak, Kelly S.; Cantrill, Stuart J.; Pease, Anthony R.; Chiu, Sheng-Hsien; Cave, Gareth W. V.; Atwood, Jerry L.; Stoddart, J. Fraser (28. 5. 2004), „Molecular Borromean rings” (PDF), Science, 304 (5675): 1308—1312, Bibcode:2004Sci...304.1308C, PMID 15166376, S2CID 45191675, doi:10.1126/science.1096914 
  40. ^ Ashley, Clifford Warren (1993), The Ashley Book of Knots, Doubleday, стр. 354, ISBN 978-0-385-04025-9 
  41. ^ Freeman, Jim (2015), „Gathering clues from Margot's extraordinary objects”, Tewkesbury Historical Society Bulletin, 24 
  42. ^ „African Borromean Rings”, Mathematics and Knots, Centre for the Popularisation of Maths, University of Wales, 2002, Приступљено 12. 2. 2021 
  43. ^ Mao, C.; Sun, W.; Seeman, N. C. (1997), „Assembly of Borromean rings from DNA”, Nature, 386 (6621): 137—138, Bibcode:1997Natur.386..137M, PMID 9062186, S2CID 4321733, doi:10.1038/386137b0 
  44. ^ Natarajan, Ganapati; Mathew, Ammu; Negishi, Yuichi; Whetten, Robert L.; Pradeep, Thalappil (2. 12. 2015), „A unified framework for understanding the structure and modifications of atomically precise monolayer protected gold clusters”, The Journal of Physical Chemistry C, 119 (49): 27768—27785, ISSN 1932-7447, doi:10.1021/acs.jpcc.5b08193 
  45. ^ Kumar, Vijith; Pilati, Tullio; Terraneo, Giancarlo; Meyer, Franck; Metrangolo, Pierangelo; Resnati, Giuseppe (2017), „Halogen bonded Borromean networks by design: topology invariance and metric tuning in a library of multi-component systems”, Chemical Science, 8 (3): 1801—1810, PMC 5477818 Слободан приступ, PMID 28694953, doi:10.1039/C6SC04478F 
  46. ^ Veliks, Janis; Seifert, Helen M.; Frantz, Derik K.; Klosterman, Jeremy K.; Tseng, Jui-Chang; Linden, Anthony; Siegel, Jay S. (2016), „Towards the molecular Borromean link with three unequal rings: double-threaded ruthenium(ii) ring-in-ring complexes”, Organic Chemistry Frontiers, 3 (6): 667—672, doi:10.1039/c6qo00025h Слободан приступ 
  47. ^ Kraemer, T.; Mark, M.; Waldburger, P.; Danzl, J. G.; Chin, C.; Engeser, B.; Lange, A. D.; Pilch, K.; Jaakkola, A.; Nägerl, H.-C.; Grimm, R. (2006), „Evidence for Efimov quantum states in an ultracold gas of caesium atoms”, Nature, 440 (7082): 315—318, Bibcode:2006Natur.440..315K, PMID 16541068, S2CID 4379828, arXiv:cond-mat/0512394 Слободан приступ, doi:10.1038/nature04626 
  48. ^ Moskowitz, Clara (16. 12. 2009), „Strange physical theory proved after nearly 40 years”, Live Science 
  49. ^ Tanaka, K. (2010), „Observation of a Large Reaction Cross Section in the Drip-Line Nucleus 22C”, Physical Review Letters, 104 (6), 062701, Bibcode:2010PhRvL.104f2701T, PMID 20366816, S2CID 7951719, doi:10.1103/PhysRevLett.104.062701 

Литература

[уреди | уреди извор]

Спољашње везе

[уреди | уреди извор]
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=Боромејски_прстенови&oldid=30519605”