Википедија:Вики гимназијалац/Dirihleova L funkcija

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу
Johan Peter Gustav Ležen Dirihle
Peter Gustav Lejeune Dirichlet.jpg
Вики гимназијалац/Dirihleova L funkcija
Датум рођења 13. februar 1805.
Место рођења Diren
Francusko carstvo
Датум смрти 5. maj 1859.
Место смрти Getingen
Hanover
Поље Matematika
Школа Univerzitet u Bonu
Институција Berlinski univerzitet
Ученици Ferdinant Ajzenštajn
Leopold Kornekel
Karl Vilhelm Borhart

U matematici, Dirihleova L-serija je funkcija koja glasi:

Ovde je χ [[Dirihleov broj] i s složena varijabla sa realnim delom vecim od 1. Pomocu analitickog kontinuiteta, ova funkcija može se proširiti na meromorficku funkciju na celoj kompleksnoj ravni, i tada se naziva 'Dirihletova L-funkcija i takodje se označava sa L(s, χ).

Ove funkcije su nazvane po Johan Peter Gustav Dirihle koji ih je predstavio u Шаблон:Dirihle1837 da dokaže tteoremu o primarnim brojevima u aritmetičkoj progresiji kola takodje nosi njegovo ime. U procesu dokazivanja, Dirihlet pokazuje da L(s, χ) je razlicito od nule za s = 1. Stavise, ako je χ osnovni broj, onda odgovarajuca Dirihletova L-funkcija ima prost grafik za s = 1.


Nule Dirihletove L-funkcije[уреди]

Ako je χ prost broj sa χ(−1) = 1,onda su jedine nule za L(s,χ) kada je Re(s) < 0 negativni jednaki celi brojevi. Ako je χ prost broj sa χ(−1) = −1, onda su jedine nule za L(s,χ) kada je Re(s) < 0 negativni različiti celi brojevi.

Do mogućeg postojanja Siegel nule, regije razlicite od nule i i sa linije Re(s) = 1 slicne Riman zeta funkciji postoje za sve Dirihletove L-funkcije: na primer,imamo:

za β + iγ je različito od nule.[1]

Kao što se za Riman zeta funkciju predpostavlja da poštuje Rimanovu hipotezu, tako se i za Dirihletovu L-funkciju predpostavlja da poštuje generalizovanu Rimanovu hipotezu.

Ojlerov proizvod[уреди]

Posto je Dirihletov karakter χ kompletno multiplikativan, onda L-funkcija moze da se pise i kao Ojlerov proizvod u polu-ravni apsolutne konvergencije:

gde je proizvod iz skupa prirodnih brojeva.[2]

Funkcionalna jednacina[уреди]

Predpostavimo da je χ prost broj modula k. Definise ga

gde Γ oznacava Gamma funkciju a simbol a je dat kao

jedan ima functional equation

Ovde smo napisali τ(χ) za Gausov zbir

Obratiti paznju da je |τ(χ)|=k1/2.

Veza sa Hurvikovom zeta-funkcijom[уреди]

Dirihletova L-funkcija moze da se napise i kao linearna kombinacija Hurvikove zeta-funkcije za racionalne vrednosti. Sredjivanjem celog broja k ≥ 1, Dirihletova L-funkcija za brojeve modula k su linearne kombinacije, sa konstantnim koeficijentima, iz ζ(s,q) gde je q = m/k i m = 1, 2, ..., k. Ovo znaci da Hurvizova zeta-funkcija za racionalno q ima analiticke osobine koje su blisko povezane sa Dirihletovom L-funkcijom. Na primer, ako je χ broj modula k. Onda mozemo da zapisemo njegovu Dirihletovu L-funkciju kao

Posebno,Dirihletova L-funkcija trivijalnih brojeva (koja govori da je modul k iz skupa prirodnih brojeva) daje Riman zeta-funkciju:

Takodje videti[уреди]

Beleske[уреди]

  1. ^ Montgomery, Hugh L. (1994). Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis. Regional Conference Series in Mathematics. 84. Providence, RI: American Mathematical Society. стр. 163. Zbl 0814.11001. ISBN 0-8218-0737-4. 
  2. ^ Apostol (1976), Theorem 11.17

Reference[уреди]

Шаблон:L-functions-footer