Вијетове формуле

Из Википедије, слободне енциклопедије
За Вијетову формулу за рачунање броја π, видети овај чланак.

У математици, односно алгебри, Вијетове формуле, које су добиле име по Франсоа Вијету, су формуле које дају везу између нула полинома, и његових коефицијената

Формуле[уреди]

Ако

је полином степена са комплексним коефицијентима (па су бројеви комплексни, и ), по основној теореми аритметике има (не обавезно различитих) комплексних корена Вијетове формуле кажу да

Другим речима, сума свих могућих производа нула полинома је једнака

за свако

Вијетове формуле важе општије за полиноме са коефицијентима у било ком комутативном прстену, све док тај полином степена има нула у том прстену.

Пример[уреди]

За полином другог степена Рашчлањивање није успело (MathML са ослањањем на SVG или PNG (препоручљиво за најновије веб-прегледаче): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle P(X)=aX^2 + bX + c} , Вијетове формуле гласе да су решења и квадратна једначина задовољавају

Прва једначина се може користити да се нађе минимум (или максимум) од P.

Доказ[уреди]

Вијетове формуле се могу доказати записивањем једнакости

(што је тачно, јер су све нуле полинома), множењем кроз факторе са десне стране, и проналажењем коефицијената сваког степена .

Литература[уреди]

  • Vinberg, E. B. (2003). A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I. ISBN 0821834134. 
  • Đukić, Dušan; et al. (2006). The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY. ISBN 0387242996.