С Википедије, слободне енциклопедије
За Вијетову формулу за рачунање броја π, видети овај чланак. У математици , односно алгебри , Вијетове формуле , које су добиле име по Франсоа Вијету , су формуле које дају везу између нула полинома , и његових коефицијената
Ако
P
(
X
)
=
a
n
X
n
+
a
n
−
1
X
n
−
1
+
⋯
+
a
1
X
+
a
0
{\displaystyle P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}}
је полином степена
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
комплексним коефицијентима
(па су бројеви
a
0
,
a
1
,
…
,
a
n
−
1
,
a
n
{\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}}
a
n
≠
0
{\displaystyle a_{n}\neq 0}
основној теореми аритметике
P
(
X
)
{\displaystyle P(X)}
n
{\displaystyle n}
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
.
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.}
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
=
−
a
n
−
1
a
n
{\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}}
(
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
⋯
+
x
1
x
n
)
+
(
x
2
x
3
+
x
2
x
4
+
⋯
+
x
2
x
n
)
+
⋯
+
x
n
−
1
x
n
=
a
n
−
2
a
n
{\displaystyle (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}}
⋯
{\displaystyle \cdots \,}
x
1
x
2
⋯
x
n
=
(
−
1
)
n
a
0
a
n
.
{\displaystyle x_{1}x_{2}\cdots x_{n}=(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}.}
Другим речима, сума свих могућих производа
k
{\displaystyle k}
P
(
X
)
{\displaystyle P(X)}
(
−
1
)
k
a
n
−
k
/
a
n
,
{\displaystyle (-1)^{k}a_{n-k}/a_{n},}
∑
1
≤
i
1
<
i
2
<
⋯
<
i
k
≤
n
x
i
1
x
i
2
⋯
x
i
k
=
(
−
1
)
k
a
n
−
k
a
n
{\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}
за свако
k
=
1
,
2
,
…
,
n
.
{\displaystyle k=1,2,\dots ,n.}
Вијетове формуле важе општије за полиноме са коефицијентима у било ком комутативном прстену , све док тај полином степена
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
За полином другог степена
P
(
X
)
=
a
X
2
+
b
X
+
c
{\displaystyle P(X)=aX^{2}+bX+c}
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
квадратна једначина
P
(
X
)
=
0
{\displaystyle P(X)=0}
x
1
+
x
2
=
−
b
a
,
x
1
x
2
=
c
a
.
{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.}
Прва једначина се може користити да се нађе минимум (или максимум) од P .
Вијетове формуле се могу доказати записивањем једнакости
a
n
X
n
+
a
n
−
1
X
n
−
1
+
⋯
+
a
1
X
+
a
0
=
a
n
(
X
−
x
1
)
(
X
−
x
2
)
⋯
(
X
−
x
n
)
{\displaystyle a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})}
(што је тачно, јер
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
X
{\displaystyle X}
Vinberg, E. B. (2003). A course in algebra . American Mathematical Society, Providence, R.I. ISBN 978-0-8218-3413-8 . Đukić, Dušan, (2006). The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004 . Springer, New York, NY. ISBN 978-0-387-24299-6 . 
