Гегенбауерови полиноми

Из Википедије, слободне енциклопедије

Гегенбауерови полиноми су ортогонални полиноми C_n^{(\alpha)}, који представљају решење Гегенбауерове диференцијалне једначине:

(1-x^{2})y''-(2\alpha+1)xy'+n(n+2\alpha)y=0.\,

Гегенбауерови полиноми представљају специјални случај Јакобијевих полинома, а Лежандрови полиноми и Чебишевљеви полиноми су специјални случај Гегенбауерових полинома. Добили су име по аустријском математичару Леополду Гегенбауеру.

Својства[уреди]

Гегенбауерови полиноми су специјални случај Јакобијевих полинома:

C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{(2\alpha)_n}{(\alpha+\frac{1}{2})_{n}}P_n^{(\alpha-1/2,\alpha-1/2)}(x).

Могу да се прикажу помоћу хипергеометријске функције:

C_n^{(\alpha)}(z)=\frac{(2\alpha)_n}{n!}
\,_2F_1\left(-n,2\alpha+n;\alpha+\frac{1}{2};\frac{1-z}{2}\right).

односно развојем се добија:


C_n^{(\alpha)}(z)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^k\frac{\Gamma(n-k+\alpha)}{\Gamma(\alpha)k!(n-2k)!}(2z)^{n-2k}.

Гегенбауерови полиноми могу да се прикажу и помоћу Родригезове формуле:


C_n^{(\alpha)}(z)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^k\frac{\Gamma(n-k+\alpha)}{\Gamma(\alpha)k!(n-2k)!}(2z)^{n-2k}.

Генерирајућа функција[уреди]

Функција генератриса Гегенбауерових полинома је:

\frac{1}{(1-2xt+t^2)^\alpha}=\sum_{n=0}^\infty C_n^{(\alpha)}(x) t^n.

Рекурзија[уреди]

Гегенбауерови полиноми задовољавају следећу рекурзију:


\begin{align}
C_0^\alpha(x) & = 1 \\
C_1^\alpha(x) & = 2 \alpha x \\
C_n^\alpha(x) & = \frac{1}{n}[2x(n+\alpha-1)C_{n-1}^\alpha(x) - (n+2\alpha-2)C_{n-2}^\alpha(x)].
\end{align}

Ортонормираност[уреди]

За фиксни α полиноми су ортогонални на [−1, 1] са тежинском функцијом:

 w(z) = \left(1-z^2\right)^{\alpha-\frac{1}{2}}.

Добија се за n ≠ m,

\int_{-1}^1 C_n^{(\alpha)}(x)C_m^{(\alpha)}(x)(1-x^2)^{\alpha-\frac{1}{2}}\,dx = 0.

а за исти n:

\int_{-1}^1 \left[C_n^{(\alpha)}(x)\right]^2(1-x^2)^{\alpha-\frac{1}{2}}\,dx = \frac{\pi 2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)[\Gamma(\alpha)]^2}.

Литература[уреди]