Генералисана хипергеометријска функција

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу
За друге генерализације хипергеометријске функције, погледајте хипергеометријску функцију
Не треба мешати са општом хипергеометријском функцијом

Генералисани хипергеометријски ред у математици, је степени ред у ком однос узастопних коефицијената индексиран са n је рационална функција n-а. Ред, ако конвергира, дефинише генералисану хипергеометријску функцију, која тада може бити дефинисана у ширем домену аргумената аналитичким наставком. Генералисани хипергеометријски ред се понекад назива хипергеометријски ред, мада се овај термин понекад односи само на Гаусов геометријски ред. Генералисана хипергеометријска функција укључује (Гаусову) хипергеметријску функцију и конфлуентну хипергеометријску функцију као специјалне случајеве, који заузврат има много одређених специјалних функција, као специјалних случајева, као што су елементарна функција, Баселова функција, и класични ортогонални полиноми.

Обележавање[уреди]

Хипергеметријски редови се формално дефинишу као степени редови 

у којима је однос узастопних коефицијената рационална функција н-а. То је,

где су A(n) и B(n) полиноми n-а.

На пример, за случај низа експоненцијалне функције,

имамо:

Што задовољава дефиницију да је A(n) = 1 и B(n) = n + 1.

Из историјских разлога, претпостављено је да је (1 + n) фактор В-а. Ако ово већ није случај, онда се А и В могу помножити овим фактором; фактор се поништава, тако да услови остају непромењени и не постоји губитак генералности.
Обичај је да се факторизује водећи термин, тако да је β0 представљено као 1. Полиноми могу бити факторизовани у линеарне факторе фоме (aj + n)и (bk + n) односно, да aj и bk буду комлексни бројеви.

Из историјских разлога, претпоставља се да је (1 + n) фактор B-а. Ако ово већ није случај, онда и A и B могу бити помножени овим фактором; фактор се поништава, тако да термини остају непрмењени и не постоји губитак генералности.

Однос узстопних коефицијената је сада

,

где су c и d водећи коефицијенти A и B. Ред онда има форму

,

или, скалирањем z одговарајућим фактором и преуређењем, 

.

Ово има форму експоненцијалне генералисане функције. Стандардно обележавање овог реда је обично означено као:

или

Користећи растући факторијел или Покамеров симбол:

ово се може написати као

(Приметимо да ова употреба Покамеровог симбола није стандардна, али је стандардна употреба у овом контексту.)

Специјални случајеви[уреди]

Многе специјалне функције у математици су специјални случајеви конфлуентне хипергеометријске функције или хипергеометријске функције; види одговарајући артикал за примере.

Неке од функција које се односе на сложеније хипергеометријске функције укључују:

Терминологија[уреди]

Када су сви термини реда дефинисани и када има не-нулу радијус конвергенције, тада ред дефинише аналитичку функцију. Таква функција, и њен аналитички наставак, се зове хипереометријска функција.

Случај када је радијус конвергенције 0 производи много интересантних редова у математици, на пример непотпуна гама функција има асимптотско проширење

што се може записати као za−1e−z 2F0(1−a,1;;−z−1). Међутим, употреба термина хипергеометријски ред је обично ограничена на случај када ред дефинише стварну аналитичку функцију.

Обичне гипергеометријске редове не треба мешати са основним хипергеометријским редовима, који, упркос свом имену, представљају прилично компликованије и нејасне редове. Основни ред је ку-аналоган обичном хипергеометријском реду. Постоји неколико таквих генералисања обичних хипергеометријских редова, укључујући и оне које произилазе из зоналне сферне функције на Римановим симетричним просторима.

Редови без фактора n! у имениоцу (сабрани сви цели бројеви n, укључујући и негативне) називају се билатерални гипергеометријски редови.

Конвергенција услова[уреди]

Постоје одређене вредности aj и bk за које је бројилац или именилац коефицијената 0.

  • Ако је било који aj не-позитивни цео број (0, −1, −2, etc.) онда ред има само коначан број термина и, у ствари, је полином степена −aj.
  • Ако је било који bk не-позитивни цео број (узимајући у обзир претходни случај −bk < aj) онда именилац постаје 0 и ред је недефинисан..

Узимајући у обзир ове случајеве, тест односа може бити примењен за одређивање полупречника конвергенције.

  • Ако је p < q + 1 онда однос коефицијената тежи нули. Ово имплицира да ред конвергира за сваку коначну вредност z. Пример је снага реда за експоненцијалну функцију.
  • Ако је p = q + 1 онда однос коефицијената тежи јединици. Ово имплицира да ред конвергира за  |z| < 1 и дивергира за |z| > 1. Да ли конвергира за |z| = 1 је теже одредити. Аналитички нставак може бити од користи за велике вредности z.
  • Ако је p > q + 1 онда однос коефицијената расте без граница. Ово имплицира, да осим када је z = 0, ред дивергира. Ово је онда дивергентни или асимптотски ред, или се може тумачити као симболичка стенографија за диференцијалну једначину да збир задовољава.

Питање конвергенције за p=q+1 када је z на јединици кружнице је теже. Може се показати да ред апсолутно конвергира за z = 1 ако је

.

Додатно, ако је p=q+1, и z је реалан број, онда се следећа конвергенција задржава. (Quigley et al 2013):

.

Основне особине[уреди]

Из дефиниције је непосредно да ред параметара aj, или параметара bk може бити промењен без промене вредности функције. Таође, ако је било који од параметара aj једнак било ком од параметара bk, онда се ти једнаки параметри могу „поништити“, са одређеним изузетком када су параметри не-позитивни цели бројеви. На пример,
.

Ојлерова трансформација интеграла[уреди]

Следећи основни идентитет је веома користан јер повезује хипергеометријске функције вишег реда у смислу интеграла над нижим редовима[2]

Диференцијација[уреди]

Генералисана хипергеометријска функција задовољава

Комбиновањем овога добијамо диференцијалну једначину заводољиву са w = pFq:

.

Гранична функција и повезани идентитети[уреди]

Узмимо следећи израз:

Из диференцијалне формуле дате горе, линеарни простор обухвата

садржећи сваки од

Како простор има две димензије, било које три од ових p+q+2 функција су линеарно зависне. Ова зависност може бити написана да генералише велики број идентитета укључујући .

На пример, у најједноставнијем не-тривијалном случају,

,
,
,

Тако је

.

Овај, и други важни примери,

,
,
,
,
,

се могу користити за генерисање наставка разломка израза познатог као Гаусов наставак разломка.

Слично томе, применом формуле диференцијалице два пута, постије   такве функције садржане у

који има димензију три тако да су било која четири линеарно зависна. Ово ствара више идентитета и процес може бити настављен. Идентитети овако генерисани могу се међусобно комбиновати да се произведу нови на другачији начин.

Функција добијена додавањем ±1 тачно једном од параметара aj, bk у

се зове гранична за

Користећи технику која је горе наведена, идентитет који се односи на  и његове две суседне функције могу бити дате, шест идентитета повезујући  и било које две његове функције, и петнаести идентитет повезујући  и било које две од његових шест узастопних функција су нађене. (Прва је изведена у претходном пасусу. Последњу петнаесту је дао Гаус у свом раду 1812. године)

Идентитети[уреди]

За идентитете који укључују Гаусову хипергеометријску функцију 2F1, види Хипергеометријску функцију.

Известан број других идентитета хипергеометријских функција откривен је у деветнаестом и двадесетом веку. Допринос 20. век методологији доказивања ових идентитета је Егоричев метод.

Заилшуцова теорема[уреди]

Заилшуцова теорема[3] (Saalschütz 1890) је

За проширење ове теореме, види истраживачки рад Рака и Рати.

Диксонов идентитет[уреди]

Диксоном идентитет,[4] доказан од стране Dixon (1902), даје суму добро-уравнотеженог 3F2 за 1:

За генералисање Диксоновог идентитета, види истраживачки рад Лавојеа, и сарадника.

Дугалова формула[уреди]

Дугалова формула (Dougall 1907)  даје збир окончаних добро-уравнотежених редова:

под условом да је m не-негативан цео број (тако да се ред завршава) и

Много других формула за специјалне вредности хипергеометријске функције може бити изведено из овога као специлани или ограничени случајеви.

Генераллисане Камерове трансформације и идентитети за 2F2[уреди]

Идентитет 1.

где је

;

Идентитет 2.

који повезује Баселову функцију 2F2; ово се своди на Камерову другу формулу b = 2a:

Идентитет 3.

.

Идентитет 4.

што је коначна сума ако је b-d не-негативни цео број.

Камерова веза[уреди]

Камерова веза је

Клаузенова формула[уреди]

Клаузенова формула

је коришћена од стране де Брангеса да докаже Бибербракова нагађања.

Специјални случајеви[уреди]

Ред 0F0[уреди]

Као што је раније примећено, . Диференцијална једначина за ову функцију је , која има решења  где је k константа.

Ред 1F0[уреди]

Такође раније примећено, 

Диференцијлна једначина за ову функцију је

или

која има решења

где је k константа.

 је геометријски ред са односом z и коефицијентом 1.

Ред 0F1[уреди]

Функције форме   се зову are called конфлуентне хипергеометријске граничне функције и уско су повезане са Баселовом функцијом. Веза је:

Диференцијална једначина за ову функцију је

или

Када a није цео позитиван број, замена

даје линеарно независно решење

тако да је опште решење

где су k, l константе. (Ако је a позитиван цео број, независно решење је тако одговарајућом Баселовом функцијом друге врсте.)

Ред 1F1[уреди]

Функције форме  се називају конфлуентне хипергеометријске функције прве врсте, пишу се и као . Непотпуна гама функција  је специјални случај.

Диференцијална једначина за ову функцију је

или

Кад је b позитиван цео број, замена

даје линеарно независно решење

тако да је опште решење

где су k, l константе.

Када је a не-позитиван цео број, −n, је полином.  До константних фактора, ово су Лагерови полиноми. Ово имплицира да Хермитови полиноми могу бити у терминима 1F1 такође.

Ред 2F0[уреди]

Ово се дешава у повезаности са експоненцијалном интегралном функцијом Ei(z).

Ред 2F1[уреди]

Историјски, најважније су функције форме. Оне се понекад зову Гаусове хипергеометријске функције, класичне стандардне хипергеометријске или често једноставно хипергеометријске функције. Термин Генералисана хипергеометријска функција се користи за функције pFq ако постоји ризик од конфузије. Ова функција је први пут употребљена у детаљима од стране Карла Фридриха Гауса, који је представио услове њене конвергенције.

Диференцијална једначина за ову функцију је

или

Позната је као хипергеометријска диференцијална једначина. Када c није позитиван цео број, замена

даје линеарно независно решење

тако да је опште решење за |z| < 1

где су k, l константе. Друга решења се могу извести за друге вредности z. У ствари, постоји 24 решења, познатих као Кумерова решења, изведених користећи различите идентитете, важећих у различитим регионима комплексне равни.

Када је a не-позитиван цео број, −n,

је полином. is a polynomial. До константни фактора и скалирања, ово су Јакобијеви полиноми. Неколико других класа ортогоналних полином, до константних фактора, су специјални случајеви Јакобијевих полинома, тако да ово може бити проширено коришћењем 2F1 такође. Ово укључује Лежандрове полиноме и Чебиљевшеве полиноме.

Широк спектар интеграла елементарних функција може се изразити помоћу хипергеометријске функција, нпр:

Ред 3F0[уреди]

Оо се дешава у повезаности са Мотовим полиномима.[5]

Ред 3F1[уреди]

Ово се дешава у теорији Баселове функције. Ово пружа начин да се израчуна Баселове функција великих аргумената.

Генералисања[уреди]

Генералисана хипергеометријска функџија је повезана са Мајер Г-функцијом и МакРоберт Е-функцијом. Хипергеометријски редови су генералисани до неколико варијабли, на пример од стране Паула Емилија Апела и Јосифа Кампеа де Фериета; али је требало много да се појави упоредива општа теорија. Пронађено је много идентитета, неки сасвим изузетни. Генералисање, аналогни ку-ред, назван основни хипергеометријски ред, дат је од стране Едуарда Хејна у касном деветнаестом веку. Овде се односи сматрају узастопним терминима, уместо рационалне функције n-а, је рационална функција qn. Друго генералисање, елиптичног геометријског реда, су они редови у којима је однос термина елиптичне функције (двострука периодична мероморфна функцијаn.

Током двадесетог века ово је било плодно подручје комбинаторне математике, са бројним повезаностима са другим областима. Постоји велики број нових дефиниција генералисане хипергеометријске функције, од стране Аомота, Израела Гелфанда, и других; и апликације за пример комбинаторике уређења броја хиперравни у комплексном Н-простору
(види распоред хиперравни).
Специјалне хипергеометријске функције настају као зонске сферне функције из Риманових симетричних простора  и семи-једноставних Лијевих група. Њихов значај у улога могу се разумети путем следеће примера: хипергеометријски ред 2F1 има Лежандрове полинове као специјални случај, а када се посматра у облику сферних хармоника, ови полиноми се одражавају на, у извесном смислу, симетрију својства две сфере, или, еквивалентно, на ротацију дату Лијевом групом SO(3). У тензорима производа декомпензација конкретних представа за ову групу Клебш-Горданових коефицијената је испуњена, што се може написати као 3F2 хипергеометријски редови.

Билатернални хипергеометријски редови су генерализација хипергеометријске функције где се сабирају сви цели бројеви, не само позитивни.

Фокс-Врајт функције су генерализација генералисаних хипергеометријских функција где су Покамерови симболи у реду израза генералисани до гама фунцкија линеаних израза са индексом n.

Референце[уреди]

  1. ^ Candan, Cagatay.
  2. ^ (Slater 1966, Equation (4.1.2))
  3. ^ See (Slater 1966, Section 2.3.1) or (Bailey 1935, Section 2.2) for a proof.
  4. ^ See (Bailey 1935, Section 3.1) for a detailed proof.
  5. ^ See Erdélyi et al. 1955.

Литература[уреди]

Спољашњи линкови[уреди]