Грамова матрица

У линеарној алгебри, Грамова матрица (или матрица скаларних производа) за уређен скуп вектора (чланова векторског простора) је матрица чији су елементи скаларни производи вектора из датог скупа. Грамове матрице налазе примену у статистици, квантој механици, машинском учењу и другим областима науке и технике. Добила је име по данском математичару Јергену Педерсену Граму.

Дефиниција

Нека је дат уређен скуп вектора a = (a₁, ..., a_n) из унитарног (или еуклидског) векторског простора V(𝔽). Грамова матрица скупа a је квадратна матрица

$G(a)=(\langle a_{i},a_{j}\rangle )_{ij},\quad \forall i,j=1\ldots n,$

односно, у развијеној форми, матрица облика

$G(a)=\left({\begin{array}{ccc}\langle a_{1},a_{1}\rangle &\cdots &\langle a_{1},a_{n}\rangle \\\vdots &\ddots &\vdots \\\langle a_{n},a_{1}\rangle &\cdots &\langle a_{n},a_{n}\rangle \end{array}}\right),$

где је $\langle a_{i},a_{j}\rangle$ скаларни производ вектора a_i и a_j. Детерминанта матрице G(a) назива се Грамовом детерминантом скупа a. Скуп a је линеарно независан ако и само ако је његова Грамова матрица несингуларна, односно ако је његова Грамова детерминанта различита од нуле.

Види још

• Матрица
• Скаларни производ
• Метрички тензор
• Анализа главних компоненти

Литература

• Липковски, Александар (2007). Линеарна алгебра и аналитичка геометрија. Београд: Завод за уџбенике. ISBN 978-86-17-14540-6. COBISS.SR 139743756. 

Спољашње везе

• Грамове матрице на PlanetMath Архивирано на сајту Wayback Machine (20. јун 2010) (језик: енглески)