Гранична вредност низа

Плавим тачкицама је приказан график конвергентног низа {a_n}. Може се и визуелно видети да низ тежи нули како n све више и више одмиче ка бесконачности.

Гранична вредност низа $a_{n}$ или лимес низа $a_{n}$ реалних бројева је нека тачка $a\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ ако за сваку околину $U$ тачке $a$ постоји природан број $n_{0}$, тако да $a_{n}\in U$ за све бројеве $n>n_{0}$, тј. тако да почев од неког, сви чланови низа припадају тој околини.

Дефиниција

$a=\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\Leftrightarrow (\forall U>0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )n>n_{0}\Rightarrow a_{n}\in U$.

Гранична вредност конвергентних низова

Поред опште дефиниције, гранична вредност за конвергентне низове, тј. за низове $a_{n}$ који теже неком $a$, где је $a$ коначан број, може се записати као:

$a=\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|<\epsilon .$

Гранична вредност дивергентних низова

Поред опште дефиниције, гранична вредност за дивергентне низове, низове $a_{n}$ који теже $a=\pm \infty$, може се записати као:

$a=\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|>\epsilon .$

Кошијев низ

Главни чланак: Кошијев низ

Плаве тачкице приказују график Кошијевог низа (x_n), чија се вредност очитава на "y"-оси. И визуелно се може видети да низ конвергира својој граничној вредности кад се n све више и више повећава. У скупу реалних бројева сваки Кошијев низ је конвергентан.

Кошијев низ, назван по истакнутом француском математичару Огистену Кошију је низ реалних бројева (x_n) који је дефинисан на следећи начин:

$(\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall m,n\in \mathbb {N} )(m,n>n_{0}\Rightarrow |x_{m}-x_{n}|<\epsilon )$.

Кошијев низ је уско повезан са појмом граничне вредности низа, јер сваки Кошијев низ конвергира. Ако знамо да је неки низ Кошијев, не морамо уопште да га познајемо нити којој ће граничној вредности да тежи, а унапред ћемо знати да има коначну граничну вредност.

Литература

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.

Види још

• Гранична вредност функције
• Низови
• Конвергентност