Декартов производ

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици, Декартов (Картезијански) производ је директни производ скупова. Име је добио по француском математичару Декарту,[1] захваљујући чијем заснивању аналитичке геометрије је постављен темељ за овај концепт.

Декартов производ A×B скупова A={x,y,z} и B={1,2,3}

Посебно, Декартов производ два скупа X (нпр. скуп тачака на x-оси) и Y (нпр. скуп тачака на y-оси), у ознаци X × Y, је скуп свих могућих уређених парова код којих је прва компонента елемент скупа X а друга компонента елемент скупа Y (у примеру би то била цела раван x0y):

A\times B = \{(x,y) | x\in A\;\wedge\;y\in B\}.[2]

Декартов производ два коначна скупа може се представити табелом, тако да су елементи једног скупа распоређени у редове, а другог у колоне. Тада се уређени парови могу схватити као ћелије у табели, где је свака одређена својим редом и колоном.

Примери[уреди]

Производ непразних скупова[уреди]

Нека су дати скупови A = \{1, 2, 3\} и B = \{1, 2\}.

A \times B = \{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)\}

B \times A = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)\}

У питању су различити скупови, тј. A \times B \neq B \times A.

Шпил карата[уреди]

Шпил од 52 карте

На шпилу од 52 карте се може илустровати декартов производ. Шпил има 13 врста карата {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} и свака врста се појављује у четири боје {♠, ♥, ♦, ♣}. Декартов производ ових скупова се састоји од 52 уређена пара свих могућих карата.

Врста × боја даје следећи скуп {(A, ♠), (A, ), (A, ♦,), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ), (2, ), (2, ♣)}.

Боја × врста даје следећи скуп {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.

У питању су различити дисјунктни скупови.

Дводимензионални координатни систем[уреди]

Картезијанске координате тачака

Главни историјски пример је картезијанскa раван у аналитичкој геометрији. У циљу представљања геометријских облика на нумерички начин и добијања нумеричких информација од оваквих репрезентација облика, Рене Декарт је свакој тачки у равни доделио пар реалних бројева, названих координатама. Обично се такав пар првих и других компонената назива x и y координата, респективно. Скуп свих таквих парова, односно картезијански производ ℝ × ℝ где су ℝ реални бројеви, представља скуп свих тачака у равни.

Имплементација у теорији скупова[уреди]

Формална дефиниција Декартовог производа са аспекта теорије скупова следи из дефиниције уређеног пара. Најчешћа дефиниција уређеног пара је (x, y) = \{\{x\},\{x, y\}\}, коју је дао Куратовски. Из дефиниције следи да је X\times Y \subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y)), где је \mathcal{P} партитивни скуп. Дакле, постојање Декартовог производа било која два скупа у Цермело-Френкел теорији скупова је последица аксиоме пара, аксиоме уније, аксиоме партитивног скупа, и схеме сепарације. Пошто се функције најчешће дефинишу као специјалан случај релација, а релације се дефинишу као подскуп Декартовог производа, следи да је Декартов производ суштински неопходан за већину других дефиниција.

Некомутативност и неасоцијативност[уреди]

Нека су A, B, C и D скупови.

Декартов производ није комутативан,

A \times B \ne B \times A,

јер су координате уређених парова пермутоване, осим ако је испуњен један од следећих услова[3]:

  • A је једнако B,
  • бар један од скупова A и B је празан.

Примери:

  • Скупови A и B су различити. На пример: A = {1,2}; B = {3,4}

A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

  • Скупови A и B су једнаки. На пример: A = B = {1,2}

A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

  • Један од скупова A или B је празан. На пример: A = {1,2}; B = ∅

A × B = {1,2} × ∅ = ∅

B × A = ∅ × {1,2} = ∅

У општем случају, Декартов производ није асоцијативан (осим ако је један од скупова празан).

(A\times B)\times C \neq A \times (B \times C)

На пример, ако је A = {1}, онда је (A × A) × A = {((1,1),1)} ≠ { (1,(1,1)) } = A × (A × A).

Декартов производ у односу на пресек, унију, подскуп[уреди]

Скуповна једнакост (A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D) илустрована на примеру скупова A={x∈ℝ:2≤x≤5}, B={x∈ℝ:3≤x≤7}, C={y∈ℝ:1≤y≤3}, и D={y∈ℝ:2≤y≤4}.
(A∪B)×(C∪D)≠(A×C)∪(B×D) графички приказ
Скуповне једнакости A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C), A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) и A×(B\C)=(A×B)\(A×C) илустроване скуповима A={y∈ℝ:1≤y≤4}, B={x∈ℝ:2≤x≤5} и C={x∈ℝ:4≤x≤7}.

Декартов производ се лепо понаша у односу на пресек скупова.

(A \cap B) \times (C \cap D) = (A \times C) \cap (B \times D)[4]

Међутим, скуповна једнакост не важи уколико пресек заменимо са унијом.

(A \cup B) \times (C \cup D) \neq (A \times C) \cup (B \times D)

У ствари, важи следећа једнакост: (A \times C) \cup (B \times D) = [(A \setminus B) \times C] \cup [(A \cap B) \times (C \cup D)] \cup [(B \setminus A) \times D]

За разлику скупова важи идентитет:

(A \times C) \setminus (B \times D) = [A \times (C \setminus D)] \cup [(A \setminus B) \times C]

Следеће скуповне једнакости илуструју дистрибутивност декартовог производа и скуповних операција[3]

A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C),

A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C),

A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C),

(A \times B)^c = (A^c \times B^c) \cup (A^c \times B) \cup (A \times B^c)[4].

За подскупове важи следеће:

Ако је  A \subseteq B онда је A \times C \subseteq B \times C,

Ако су A,B  \neq \emptyset онда је A \times B \subseteq C \times D \iff A \subseteq C \and B \subseteq D[5].

Кардиналност[уреди]

Кардиналност (кардинал или кардинални број) је број елемената скупа. На пример, нека су дата два скупа: A = {a, b} и B = {5, 6}. Скупови A и B имају по два елемента. Њихов Декартов производ, у ознаци A × B, даје нови скуп који се састоји од следећих елемената:

A × B = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)}.

Сваки елемент скупа A се упарује са сваким елементом скупа B. Сваки уређени пар је елемент у резултујућем скупу A × B. Број различитих елемената у Декартовом производу скупова једнак је производу броја елемената скупова чији се Декартов производ рачуна; у овом случају је 2·2=4. Кардинални број добијеног скупа, једнак је производу кардиналних бројева скупова чији се Декартов производ рачуна. Дакле,

|A × B| = |A| · |B|.

Слично,

|A × B × C| = |A| · |B| · |C|

и тако даље.

Скуп A × B је бесконачан ако је бар један од скупова A или B бесконачан а други скуп је непразан.[6]

n-арни производ[уреди]

Декартово степеновање[уреди]

Декартов квадрат (или бинарни Декартов производ) скупа X је Декартов производ X2 = X × X.

Референце[уреди]

  1. Merriam-Webster Online Dictionary Приступљено 23.11.2015.
  2. Warner, S: Modern Algebra, page 6. Dover Press, 1990.
  3. 3,0 3,1 Singh, S. Cartesian product. Приступљено 24. 11. 2015.
  4. 4,0 4,1 Декартов производ на PlanetMath.org.
  5. Декартов производ подскупова на https://proofwiki.org/ Приступљено 29.11.2015.
  6. Peter S. (1998). A Crash Course in the Mathematics Of Infinite Sets. St. John's Review, 44(2), 35–59. Retrieved August 1, 2011, from http://www.mathpath.org/concepts/infinity.htm

Спољашње везе[уреди]