Елипса

Из Википедије, слободне енциклопедије
За стилску фигуру, погледајте Елипса (књижевност)
збир растојања једне тачке на елипси (у овом случају тачке X) од два фокуса елипсе је увек једнак (тј. растојање означено плавом бојом је константно за било коју тачку на елипси)

Елипса (старогрч. ἔλλειψις, недостатак) је у математици крива затворена линија у равни, која се може дефинисати као геометријско место тачака чији је збир растојања једне тачке на елипси од две фиксиране тачке увек једнак (види слику). Ове две тачке се још називају фокусима елипсе, а тачка која се налази тачно између њих је центар елипсе.

Елипса има два пречника (полупречника) који представљају минимално и максимално растојање њених тачака од њеног центра, и називају се осе елипсе. Осе елипсе су две праве које садрже њене пречнике. Прва, већа, пролази кроз обе фокусне тачке, а друга, мања пролази кроз њен центар, и нормална је на прву. Половина веће полуосе се назива велика полуоса, и у астрономији се користи као један од орбиталних параметара који описује путању неког небеског тела.

Уколико су фокусне тачке елипсе једна те иста тачка, ради се о специјалном случају елипсе, који се назива круг.

Дефиниције[уреди]

Аналитичка дефиниција[уреди]

Елипса се добија као пресек конуса и равни

Аналитички посматрано, елипса је крива другог реда:

f(x,y) = \alpha _{11} x^2 + 2\alpha _{12} xy + \alpha _{22} y^2 + 2\alpha _{13} x + 2\alpha _{23} y + \alpha _{33} = 0\, (општа једначина криве другог реда)

Која задовољава следеће услове:


  1. \Delta = \begin{vmatrix}
  \alpha _{11} & \alpha _{12} & \alpha _{13} \\
  \alpha _{12} & \alpha _{22} & \alpha _{23} \\
  \alpha _{13} & \alpha _{23} & \alpha _{33}
\end{vmatrix} \neq 0


  2. \delta = \begin{vmatrix}
  \alpha _{11} & \alpha _{12} \\
  \alpha _{12} & \alpha _{22} \\
\end{vmatrix} > 0

  3. За реалну елипсу: T \cdot \Delta = (\alpha _{11} + \alpha _{22}) \cdot \Delta < 0
    За имагинарну елипсу (празан скуп): T \cdot \Delta > 0

Уколико су осе елипсе паралелне са осама декартовог координатног система, ова једначина изгледа овако:

\alpha _{11} x^2 + \alpha _{22} y^2 - \alpha _{33} = 0\,

Што се може записати и као

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

У овој једначини су a и b у ствари величине полупречника елипсе.

Фокус и директриса[уреди]

Елипса је геометријско мјесто тачака M у равни чији је однос удаљености до једне фиксне тачке F и до једне фиксне праве d константан број e ∈ (0,1). Та фиксна тачка се назива фокус, или жижа елипсе, фиксна права директриса, или водиља, а константан број, количник назива се (нумерички) ексцентрицитет.[1]

Elipsa-Fd.jpg

Доказ. На датој слици, ставимо да је |AA'| = 2a, па је |A'O| = |OA| = a, а због |A'F| = |A'O| + |OF| и |A'G| = |A'O| + |OG| добијамо |A'O| + |OF| = e(|A'O| + |OG|), тј. a + |OF| = e(|OG| + a). На сличан начин слиједи и једнакост a – |OF| = e(|OG| – a). Из добијене две једнакости имамо: |OF| = ae, |OG| = a/e. Према томе, у овако изабраном координатном систему, жижа је тачка F(ae, 0), а директриса је права d: x = a/e. Тиме је доказ завршен.

Због симетрије, постоје још једна жижа F ′(-ae, 0) и друга директриса d: x = -a/e. Број c = ae, који представља растојање жиже од центра елипсе, назива се линеарни ексцентрицитет, док је дужи назив за број e = c/a нумерички ексентрицитет.

Збир полупречника[уреди]

Збир растојања ма које тачке елипсе од њених жижа, фокуса F и F ′ је константан и износи 2а.

Elipsa.jpg

Доказ. Ако је M(x,y) произвољна тачка елипсе, N подножје нормале из те тачке на директрису d, а N′ подножје нормале на директрису d′, онда је

\overline{FM} = e\cdot\overline{MN}, \ \overline{F^\prime M} = e\cdot\overline{MN^\prime},

гдје је број e ∈ (0,1) ексцентрицитет елипсе. Отуда је

\overline{FM}+\overline{F^\prime M} = e\cdot(\overline{MN}+\overline{MN^\prime}).

Са друге стране, збир у загради десно је растојање између директриса, које износи e⋅2⋅(a/e), зато је

\overline{FM}+\overline{F^\prime M} = e\cdot\frac{a}{e} = 2a,

што је и требало доказати.

Површина[уреди]

Површина елипсе је:

P = ab\pi

где су a и b полупречници елипсе, а пи = 3,14159... математичка константа. До формуле за површину се дошло израчунавањем помоћу интеграла.

Доказ. Четвртина површине елипсе у канонском облику је у првом квадранту. Према томе површина читаве елипсе је

P = 4\int_0^a ydx = 4\int_0^a b\cdot\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}dx = [ x = a\sin t, \ dx = a\cos t dt]
= 4\int_0^{\frac{\pi}2} b\cdot\sqrt{\cos^2t}\cdot\cos t dt = 4ab\int_0^{\frac{\pi}2} \cos^2 t dt
= 4ab\int_0^{\frac{\pi}2} \frac{1+\cos 2t}2dt = 4ab\int_0^{\frac{\pi}2} \frac{dt}2 + ab\int_0^{\frac{\pi}2} \cos 2td2t
= 4ab\cdot \frac{\pi}2 \Bigg|^{\frac{\pi}2} + ab\sin 2t \Bigg|_0^{\frac{\pi}2} = ab\pi.

Тиме је доказ завршен.

Ексцентрицитет[уреди]

Ексцентрицитет је константа карактеристична за сваку елипсу. Представља минимално растојање фокусне тачке елипсе од елипсе, дуж осе. Израчунава се као:

e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}

где су a и b дужине полупречника елипсе. Уколико се са c означи растојање између фокусних тачака елипсе, e ће бити:

e = \frac{c}{a}

Обим[уреди]

Обим елипсе се може представити на разне начине:

Бесконачни редови:

O = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \dots}\right]\!\,

Што је исто што и:

O = 2\pi a \sum_{n=0}^\infty {\left\lbrace - \left[\prod_{m=1}^n \left({ 2m-1 \over 2m}\right)\right]^2 {e^{2n}\over 2n - 1}\right\rbrace}

Добру апроксимацију ове вредности је направио Рамануџан:

O \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,

Која се такође може записати као:

O \approx \pi a \left[ 3 (1+\sqrt{1-e^2}) - \sqrt{(3+ \sqrt{1-e^2})(1+3 \sqrt{1-e^2})} \right] \!\,

У специјалном случају, када је мања оса дупло мања од веће осе, важи:

O \approx \pi a (9 - \sqrt{35})/2 \!\,

Извори[уреди]

  1. ^ Удружење Архимед: Математика III „Елипса“, Р. Вуковић, приступ 25.4.2013

Спољашње везе[уреди]

Викиостава
Викимедијина остава има још мултимедијалних датотека везаних за: Елипса