Елиптички интеграли

Из Википедије, слободне енциклопедије

Елиптички интеграли појавили су се у вези решавања дужине лука елипсе, а прво су их открили Леонард Ојлер и Ђулио Фањано. У савременом приступу дефинишу се као функција f, која може да се представи у облику:

 f(x) = \int_{c}^{x} R \left(t, \sqrt{P(t)} \right) \, dt

где је R рационална функција два аргумента, P је полином трећег или четвртога степена без понављања корења, а c је константа. Касније су откривене елиптичке функције као инверзне функције елиптичких интеграла.

Ознаке аргумената[уреди]

Елиптички интеграли имају два аргумента, који могу да се изразе на неколико различитих начина, тако да постоји више конвенција. Први аргумент може да се представи на више начина као:

  •  \alpha модуларни угао
  •  k = sin \alpha елиптички модул или ексцентрицитет
  • m= k^2 = sin^2 \alpha параметар.

Свака од три величине може да се прикаже помоћу било које друге од три величине. Други аргумент може да се представи као:

  •  \varphi амплитуда
  • x или u, где је x= sin \varphi= \textrm{sn} \; u ,

а  \textrm{sn} је једна од Јакобијевих елиптичких функција. При томе вреди:

\cos \varphi = \textrm{cn} \; u,
 \sqrt{1 - m \sin^2 \varphi} = \textrm{dn}\; u.

Непотпуни елиптички интеграли прве врсте[уреди]

Непотпуни елиптички интеграли прве врсте F дефинисан је као:

 F(\varphi,k) = F(\varphi \,|\, k^2) = F(\sin \varphi ; k) = \int_0^\varphi \frac {d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}}.

То је тригонометријски облик интеграла. Замењујући  t=\sin \theta, x=\sin \varphi добија се Јакобијев облик:

 F(x ; k) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{(1 - t^2)(1 - k^2 t^2)}}.

Помоћу амплитуднога или модуларнога угла добија се:

 F(\varphi \setminus \alpha) = F(\varphi, \sin \alpha) = \int_0^\varphi \frac{d \theta}{\sqrt{1-(\sin \theta \sin \alpha)^2}}.

У тој нотацији вреди:

 F(\varphi, \sin \alpha) = F(\varphi \,|\, \sin^2 \alpha) = F(\varphi \setminus \alpha) = F(\sin \varphi ; \sin \alpha).

Са x = \textrm{sn}(u;k) добија се:

F(x;k) = u;

Непотпуни елиптички интеграли друге врсте[уреди]

Непотпуни елиптички интеграли друге врсте E су облика:

 E(\varphi,k) = E(\varphi \,|\,k^2) = E(\sin\varphi;k) = \int_0^\varphi \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}\, d\theta.

Замењујући  t=\sin\theta \; \text{and}\; x=\sin\varphi , добија се Јакобијев облик:

 E(x;k) = \int_0^x \frac{\sqrt{1-k^2 t^2} }{\sqrt{1-t^2}}\, dt.

На сличан начин помоћу амплитуде и модуларнога угла вреди:

 E(\varphi \setminus \alpha) = E(\varphi, \sin \alpha) = \int_0^\varphi \sqrt{1-(\sin \theta \sin \alpha)^2} \,d\theta.

Односи са Јакобијевим елиптичким функцијама су:

E(\mathrm{sn}(u ; k) ; k) = \int_0^u \mathrm{dn}^2 (w ; k) \, dw = u - k^2 \int_0^u \mathrm{sn}^2 (w ; k) \, dw = (1-k^2)u + k^2 \int_0^u \mathrm{cn}^2 (w ; k) \, dw.

Непотпуни елиптички интеграли треће врсте[уреди]

Непотпуни елиптички интеграли треће врсте Π је:

 \Pi(n ; \varphi \setminus \alpha) = \int_0^\varphi  \frac{1}{1-n\sin^2 \theta}
\frac {d\theta}{\sqrt{1-(\sin\theta\sin \alpha)^2}}, илиr
 \Pi(n ; \varphi \,|\,m) = \int_{0}^{\sin \varphi} \frac{1}{1-nt^2}
\frac{dt}{\sqrt{(1-m t^2)(1-t^2) }}.

Број n назива се карактеристика и може да узме било коју вредност. Треба приметити да је вредност \Pi(1; \tfrac \pi 2 \,|\,m)\,\! бесконачна за било који m.

Односи са Јакобијевим елиптичким функцијама су:

 \Pi(n; \,\mathrm{sn}(u;k); \,k) = \int_0^u \frac{dw} {1 - n \,\mathrm{sn}^2 (w;k)}.

Потпуни елиптички интеграли прве врсте[уреди]

Елиптички интеграли су потпуни ако је φ=π/2 и онда је x=1. Потпуни елиптички интеграли прве врсте K(k) могу онда да се дефинишу као:

K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}},

или помоћу непотпунога интеграла прве врсте:

K(k) = F(\tfrac{\pi}{2},k) = F(1;k).

Могу да се прикажу и преко реда:

K(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^\infty \left[\frac{(2n)!}{2^{2 n} (n!)^2}\right]^2 k^{2n} = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^\infty [P_{2 n}(0)]^2 k^{2n},

где P_n представља Лежандров полином, који је:

K(k) = \frac{\pi}{2}\left\{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 k^{2} + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 k^{4} + \cdots + \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 k^{2n} + \cdots \right\},

K(k) задовољава следеће једначине:

\frac{\mathrm{d}K(k)}{\mathrm{d}k} = \frac{E(k)}{k(1-k^2)}-\frac{K(k)}{k}
\frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}k} \left[ k (1-k^2) \frac {\mathrm{d}K(k)} {\mathrm{d}k} \right] = k K(k)

Потпуни елиптички интеграли друге врсте[уреди]

Потпуни елиптички интеграли друге врсте E(k) одговара обиму елипсе и дефинише се као:

E(k) = \int_0^{\pi/2}\sqrt {1-k^2 \sin^2\theta}\ d\theta = \int_0^1 \frac{\sqrt{1-k^2 t^2}}{\sqrt{1-t^2}} dt,

или преко непотпунога интеграла друге врсте:

E(k) = E(\tfrac{\pi}{2},k) = E(1;k).

Могу да се прикажу и преко реда:

E(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{(2n)!}{2^{2 n} (n!)^2}\right]^2 \frac{k^{2n}}{1-2 n},

што је еквивалентно:

E(k) = \frac{\pi}{2}\left\{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \frac{k^2}{1} - \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{k^4}{3} - \cdots - \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 \frac{k^{2n}}{2 n-1} - \cdots \right\}.

За њега важе и једначине:

\frac{\mathrm{d}E(k)}{\mathrm{d}k}=\frac{E(k)-K(k)}{k}
(k^2-1) \frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}k} \left[ k \;\frac {\mathrm{d}E(k)} {\mathrm{d}k} \right] = k E(k)

Потпуни елиптички интеграли треће врсте[уреди]

Потпуни елиптички интеграли треће врсте \Pi(n,k) дефинише се као:

\Pi(n,k) = \int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{(1-n\sin^2\theta)\sqrt {1-k^2 \sin^2\theta}}.

За њега важи:

\frac{\partial\Pi(n,k)}{\partial n}=
\frac{1}{2(k^2-n)(n-1)}\left(E(k)+\frac{1}{n}(k^2-n)K(k)+\frac{1}{n}(n^2-k^2)\Pi(n,k)\right)
\frac{\partial\Pi(n,k)}{\partial k}=
\frac{k}{n-k^2}\left(\frac{E(k)}{k^2-1}+\Pi(n,k)\right)


Литература[уреди]