Елиптички интеграли

Из Википедије, слободне енциклопедије

Елиптички интеграли појавили су се у вези с решавањем дужине лука елипсе, а прво су их открили Леонард Ојлер и Ђулио Фањано. У савременом приступу дефинишу се као функција f, која може да се представи у облику:

где је R рационална функција два аргумента, P је полином трећег или четвртога степена без понављања корења, а c је константа. Касније су откривене елиптичке функције као инверзне функције елиптичких интеграла.

Ознаке аргумената[уреди]

Елиптички интеграли имају два аргумента, који могу да се изразе на неколико различитих начина, тако да постоји више конвенција. Први аргумент може да се представи на више начина као:

  • модуларни угао
  • елиптички модул или ексцентрицитет
  • параметар.

Свака од три величине може да се прикаже помоћу било које друге од три величине. Други аргумент може да се представи као:

  • амплитуда
  • x или u, где је ,

а је једна од Јакобијевих елиптичких функција. При томе вреди:

Непотпуни елиптички интеграли прве врсте[уреди]

Непотпуни елиптички интеграли прве врсте F дефинисан је као:

То је тригонометријски облик интеграла. Замењујући добија се Јакобијев облик:

Помоћу амплитуднога или модуларнога угла добија се:

У тој нотацији вреди:

Са добија се:

Непотпуни елиптички интеграли друге врсте[уреди]

Непотпуни елиптички интеграли друге врсте E су облика:

Замењујући , добија се Јакобијев облик:

На сличан начин помоћу амплитуде и модуларнога угла вреди:

Односи са Јакобијевим елиптичким функцијама су:

Непотпуни елиптички интеграли треће врсте[уреди]

Непотпуни елиптички интеграли треће врсте Π је:

, илиr

Број n назива се карактеристика и може да узме било коју вредност. Треба приметити да је вредност бесконачна за било који m.

Односи са Јакобијевим елиптичким функцијама су:

Потпуни елиптички интеграли прве врсте[уреди]

Елиптички интеграли су потпуни ако је φ=π/2 и онда је x=1. Потпуни елиптички интеграли прве врсте могу онда да се дефинишу као:

или помоћу непотпунога интеграла прве врсте:

Могу да се прикажу и преко реда:

где представља Лежандров полином, који је:

задовољава следеће једначине:

Потпуни елиптички интеграли друге врсте[уреди]

Потпуни елиптички интеграли друге врсте одговара обиму елипсе и дефинише се као:

или преко непотпунога интеграла друге врсте:

Могу да се прикажу и преко реда:

што је еквивалентно:

За њега важе и једначине:

Потпуни елиптички интеграли треће врсте[уреди]

Потпуни елиптички интеграли треће врсте дефинише се као:

За њега важи:


Литература[уреди]