Извод инверзне функције

Из Википедије, слободне енциклопедије
Правило:


Пример за произвољно :

У математици, инверз функције је функција која, на неки начин, "поништава" ефекат функције (види инверзна функција за формалну и детаљнију дефиницију). Инверзна функција функције се означава као . Изрази y = f(x) и x = f −1(y) су једнаки.

Изводи ове две функције, под претпоставком да постоје, су реципрочни:

Ово је директна последица правила извода сложене функције, пошто је, по Лајбницовим ознакама:

а извод од по је 1.

Ако експлицитно запишемо зависност на и уврстимо тачку диференцијације користећи Лагранжову нотацију, формула за извод инверзне функције постаје:

Геометријски, функција и њен инверз имају графике који су пресликане рефлексије у огледалу, по линији y = x. Ова рефлексија заправо претвара нагиб тангенте сваке тачке у њену реципрочну вредност.

Ако претпоставимо да за функцију постоји инверзна функција, и да је њен извод не-нулти, инверз је увек диференцијабилан у и има вредност као из формуле изнад.

Примери[уреди]

  • (за позитивне вредности ) има инверзну функцију .

Међутим, у тачки x = 0 наилазимо на проблем. График квадратног корена ту има асимптоту и постаје вертикалан (што одговара хоризонталној тангенти функције квадрантног корена).

  • (за реалне вредности ) има инверзну функцију (за позитивне вредности )

Изводи вишег реда[уреди]

Идентитет изнад се добија коришћењем правила извода сложене функције по x, за формулу x = f −1(f(x)) . Овај процес се може наставити и за изводе вишег реда. Диференцијација овог идентита два пута, по x даје:

или ако заменимо први извод из формуле изнад:

Исто тако, за трећи извод добијамо:

или искоршавајући формулу за други извод:

Ове формуле су генерализоване као Фа ди Брунове формуле.

Ове формуле можемо да напишемо и преко Лајбницових ознака. Ако су f и g међусобно инверзне функције, онда

Пример[уреди]

  • има инверзну функцију . Коришћењем формуле за други извод инверзне функције добијамо:

тако да је

,

што се слаже са директним израчунавањем.

Види још[уреди]