Изопериметријски проблем

Ако регион није конвексан, „удубљење“ на његовој граници може се „окренути“ да би се повећала површина региона, а да се периметар задржи непромјењен.

Изопериметријски проблем (гр.), је појам у математици, проблем у којем је реч o деловима површи који имају једнак обим (периметар).

Изопериметрични, једнака обима.

У математици, изопериметријска неједнакост је геометријска неједнакост која укључује квадрат обима затворене криве у равни и површину равнинске области коју она обухвата, као и њена различита уопштавања. Изопериметријски дословно значи „имати исти обим“. Конкретно, изопериметријска неједнакост каже, за дужину L затворене равнинске криве и површину А области коју она обухвата, да

$4\pi A\leq L^{2},$

и та једнакост важи ако и само ако је крива круг.

Изопериметријски проблем је одређивање равне фигуре највеће могуће површине чија граница има одређену дужину. Уско повезани Дидонин проблем [он] тражи област максималне површине ограничену правом линијом и криволинијским луком чији крајњи дијелови припадају тој правој. Име је добио по Дидони, легендарној оснивачици и првој краљици Картагине. Рјешење изопериметријског проблема дато је кругом и било је познато већ у старој Грчкој. Међутим, први математички ригорозан доказ ове чињенице добијен је тек у 19. вијеку. Од тада су пронађени многи други докази.

Изопериметријски проблем је проширен на више начина, на примјер, на криве на површинама и на регионе у просторима више димензија. Можда најпознатија физичка манифестација тродимензионалне изопериметријске неједнакости је облик капи воде. Наиме, кап ће обично попримити симетричан округли облик. Пошто је количина воде у капи фиксна, површинска напетост приморава кап у облик који минимизира површину капи, наиме округлу сферу.

Изопериметријски проблем у равни

Издужени облик може се учинити округлијим, а да се његов обим задржи фиксираним, а површина повећа.

Класични изопериметријски проблем датира још из антике. Проблем се може формулисати на следећи начин: Међу свим затвореним кривима у равни фиксног периметра, која крива (ако постоји) максимизира површину свог затвореног подручја? Ово питање се може показати еквивалентним следећем проблему: Међу свим затвореним кривима у равни која обухвата фиксну површину, која крива (ако постоји) минимизира периметар?

Овај проблем је концептуално повезан са принципом најмањег дејства у физици, по томе што се може преформулисати: који је принцип дејства који обухвата највећу површину, уз највећу економичност напора? Филозоф и научник из 15. веијка, кардинал Никола Кузански, сматрао је ротационо дејство, процес којим се генерише круг, најдиректнијим одразом, у царству чулних утисака, процеса којим се ствара универзум. Њемачки астроном и астролог Јоханес Кеплер позвао се на изопериметријски принцип када је расправљао о морфологији Сунчевог система, у дјелу Mysterium Cosmographicum (Света мистерија Космоса, 1596).

Иако круг изгледа као очигледно рјешење проблема, доказивање ове чињенице је прилично тешко. Први напредак ка рјешењу направио је швајцарски геометар Јакоб Штајнер 1838. године, користећи геометријску методу касније названу Штајнерова симетризација. Штајнер је показао да ако рјешење постоји, онда то мора бити круг. Штајнеров доказ је касније завршило неколико других математичара.

Штајнер почиње са неким геометријским конструкцијама које се лако разумијеју; на примјер, може се показати да се свака затворена крива која обухвата област која није потпуно конвексна може модификовати да обухвати већу површину, „окретањем“ конкавних површина тако да постану конвексне. Даље се може показати да се свака затворена крива која није потпуно симетрична може „нагнути“ тако да обухвата већу површину. Једини облик који је савршено конвексан и симетричан је круг, иако то само по себи не представља ригорозан доказ изопериметријске теореме (видјети спољне линкове).

У равни

Рјешење изопериметријског проблема се обично изражава у облику неједнакости која повезује дужину L затворене криве и површину A равног подручја које она обухвата. Изопериметријска неједнакост каже да

$4\pi A\leq L^{2},$

и да једнакост важи ако и само ако је крива круг. Површина диска полупречника R је πR2, а обим круга је 2πR, тако да су обје стране неједнакости једнаке 4π2R2 у овом случају.

Пронађене су десетине доказа изопериметријске неједнакости. Године 1902, Хурвиц је објавио кратак доказ користећи Фуријеов ред који се примјењује на произвољне исправљиве криве (за које се не претпоставља да су глатке). Елегантан директан доказ заснован на поређењу глатке једноставне затворене криве са одговарајућим кругом дао је Е. Шмит 1938. године. Користи само формулу за дужину лука, израз за површину равнинске области из Гринове теореме и Коши-Шварцову неједнакост.

За дату затворену криву, изопериметријски количник је дефинисан као однос њене површине и површине круга који има исти обим. То је једнако

$Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}}$

а изопериметријска неједнакост каже да је Q ≤ 1. Еквивалентно, изопериметријски однос L2/A је најмање 4π за сваку криву.

Изопериметријски количник правилног n-угла је

$Q_{n}={\frac {\pi }{n\tan(\pi /n)}}.$

Нека је $C$ глатка правилна конвексна затворена крива. Тада побољшана изопериметријска неједнакост гласи следеће

$L^{2}\geqslant 4\pi A+8\pi \left|{\widetilde {A}}_{0.5}\right|,$

гдје $L,A,{\widetilde {A}}_{0.5}$} означавају дужину $C$, површину региона ограниченог са $C$ и оријентисану површину Вигнерове каустики $C$, респективно, и једнакост важи ако и само ако је $C$ крива константне ширине.

На сфери

Нека је C једноставна затворена крива на сфери полупречника 1. Означимо са L дужину C, а са A површину коју обухвата C. Сферна изопериметријска неједнакост каже да

$L^{2}\geq A(4\pi -A),$

и да једнакост важи ако и само ако је крива круг. Постоје, у ствари, два начина за мјерење сферне површине обухваћене једноставном затвореном кривом, али је неједнакост симетрична у односу на узимање комплемента.

Ову неједнакост је открио Пол Леви (1919) који ју је проширио и на више димензије и опште површине.

У општијем случају произвољног полупречника R, познато је да

$L^{2}\geq 4\pi A-{\frac {A^{2}}{R^{2}}}.$

Изопериметријска неједнакост за троуглове

Изопериметријска неједнакост за троуглове у смислу обима p и површине T каже да

$p^{2}\geq 12{\sqrt {3}}\cdot T,$

са једнакошћу за једнакостранични троугао. Ово је имплицирано, преко AM–GM неједнакости, јачом неједнакошћу која је такође названа изопериметријска неједнакост за троуглове:

$T\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.$

Види још

• Блашке-Лебегова теорема
• Чаплигинов проблем: изопериметријски проблем је случај Чаплигиновог проблема са нултом брзином вјетра
• Струјање скраћивања криве
• График експандера
• Гаусова изопериметријска неједнакост
• Изопериметријска димензија
• Изопериметријска тачка
• Списак неједнакости троуглова
• Теорема о равном сепаратору
• Мешовита запремина