Инверз (математика)

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици, појам инверзног елемента представља уопштење појмова негације, у односу на сабирање, и реципрочности, у односу на множење. Интуитивно, инверз може да поништи ефекат комбинације неког елемента са другим датим елементом.

Формална дефиниција[уреди]

Нека је скуп са бинарном операцијом . Ако је неутрални елемент за и , онда је леви инверз од а је десни инверз од . Ако је елемент уједно и леви и десни инверз од , онда се назива двостраним инверзом, или просто инверзом, од . Елемент који има двострани инверз у се назива инвертибилним у . Елемент који има инверз само са једне стране је лево инвертибилан, или десно инвертибилан.

Као што је за могуће да има више левих идентитета или више десних идентитета, могуће је да елемент има више левих инверза или више десних инверза (али треба имати у виду да њихова горња дефиниција користи двострани идентитет, ). Елемент може чак да има више левих инверза и више десних инверза.

Ако је операција асоцијативна, онда ако елемент има и леви и десни инверз, они су једнаки и јединствени. У овом случају, скуп (лево и десно) инвертибилних елемената је група која се назива групом јединица од , у ознаци или .

Рачунање[уреди]

Сваки реалан број има адитивни инверз (инверз у односу на сабирање) једнак . Сваки реалан број различит од нуле, има мултипликативни инверз (инверз у односу на множење) једнак . Нула нема мултипликативни инверз.

Функција је леви (или десни) инверз функције (за композицију функција), ако и само ако је (или ) функција идентитета на домену (или кодомену) функције .

Квадратна матрица са елементима из поља је инвертибилна (у скупу свих квадратних матрица исте димензије, у односу на множење матрица) ако и само ако је њена детерминанта различита од нуле. Ако је детерминанта матрице једнака нули, немогуће је да та матрица има једнострани инверз; стога постојање левог инверза имплицира постојање десног (и обратно). Види инвертибилна матрица за детаљнији опис.

Општије, квадратна матрица над комутативним прстеном је инвертибилна ако и само ако је ењна детерминанта инвертибилна у .

Неквадратне матрице пуног ранга имају једностране инверзе:[1]

  • За постоји леви инверз:
  • За постоји десни инверз:

Ниједна матрица која није пуног ранга нема било какав (ни једнострани) инверз. Међутим, Мур-Пенроузов псеудоинверз постоји за све матрице, и поклапа се са левим или десним (или двостраним) инверзом ако он постоји.

Пример[уреди]


Дакле, како је , постоји десни инверз.

Леви инверз не постоји, јер , што је сингуларна матрица, која не може да се инвертује.


Извори[уреди]