Инверз (математика)

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици, појам инверзног елемента представља уопштење појмова негације, у односу на сабирање, и реципрочности, у односу на множење. Интуитивно, инверз може да поништи ефекат комбинације неког елемента са другим датим елементом.

Формална дефиниција[уреди]

Нека је S скуп са бинарном операцијом *. Ако је e неутрални елемент за (S,*) и a*b=e, онда је a леви инверз од b а b је десни инверз од a. Ако је елемент x уједно и леви и десни инверз од y, онда се x назива двостраним инверзом, или просто инверзом, од y. Елемент који има двострани инверз у S се назива инвертибилним у S. Елемент који има инверз само са једне стране је лево инвертибилан, или десно инвертибилан.

Као што је за (S,*) могуће да има више левих идентитета или више десних идентитета, могуће је да елемент има више левих инверза или више десних инверза (али треба имати у виду да њихова горња дефиниција користи двострани идентитет, e). Елемент може чак да има више левих инверза и више десних инверза.

Ако је операција * асоцијативна, онда ако елемент има и леви и десни инверз, они су једнаки и јединствени. У овом случају, скуп (лево и десно) инвертибилних елемената је група која се назива групом јединица од S, у ознаци U(S) или S^*.

Рачунање[уреди]

Сваки реалан број x има адитивни инверз (инверз у односу на сабирање) једнак -x. Сваки реалан број различит од нуле, x има мултипликативни инверз (инверз у односу на множење) једнак \frac 1{x}. Нула нема мултипликативни инверз.

Функција g је леви (или десни) инверз функције f (за композицију функција), ако и само ако је g o f (или f o g) функција идентитета на домену (или кодомену) функције f.

Квадратна матрица M са елементима из поља K је инвертибилна (у скупу свих квадратних матрица исте димензије, у односу на множење матрица) ако и само ако је њена детерминанта различита од нуле. Ако је детерминанта матрице M једнака нули, немогуће је да та матрица има једнострани инверз; стога постојање левог инверза имплицира постојање десног (и обратно). Види инвертибилна матрица за детаљнији опис.

Општије, квадратна матрица над комутативним прстеном R је инвертибилна ако и само ако је ењна детерминанта инвертибилна у R.

Неквадратне матрице пуног ранга имају једностране инверзе:[1]

  • За A:m\times n \mid m>n постоји леви инверз:  \underbrace{ (A^{T}A)^{-1}A^{T} }_{ A^{-1}_\text{left} } A = I_{n}
  • За A:m\times n \mid m<n постоји десни инверз:  A \underbrace{ A^{T}(AA^{T})^{-1} }_{ A^{-1}_\text{right} } = I_{m}

Ниједна матрица која није пуног ранга нема било какав (ни једнострани) инверз. Међутим, Мур-Пенроузов псеудоинверз постоји за све матрице, и поклапа се са левим или десним (или двостраним) инверзом ако он постоји.

Пример[уреди]

A:2\times 3 =
  \begin{bmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    4 & 5 & 6
  \end{bmatrix}
Дакле, како је m<n, постоји десни инверз. A^{-1}_{desni} = A^{T}(AA^{T})^{-1}
AA^{T} =   
  \begin{bmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    4 & 5 & 6
  \end{bmatrix}\cdot
  \begin{bmatrix}
    1 & 4\\
    2 & 5\\
    3 & 6
  \end{bmatrix}
=  
  \begin{bmatrix}
    14 & 32\\
    32 & 77
  \end{bmatrix}

(AA^{T})^{-1}
=
  \begin{bmatrix}
    14 & 32\\
    32 & 77
  \end{bmatrix}^{-1}
=
\frac{1}{54}  \begin{bmatrix}
    77 & -32\\
    -32 & 14
  \end{bmatrix}

A^{T}(AA^{T})^{-1}
=
\frac{1}{54}\begin{bmatrix}
    1 & 4\\
    2 & 5\\
    3 & 6
  \end{bmatrix}
\cdot  
  \begin{bmatrix}
    77 & -32\\
    -32 & 14
  \end{bmatrix}

=
\frac{1}{18}
 \begin{bmatrix}
    -17 & 8\\
    -2 & 2\\
    13 & -4
  \end{bmatrix}
=
A^{-1}_{desni}

Леви инверз не постоји, јер A^{T}A =   
  \begin{bmatrix}
    1 & 4\\
    2 & 5\\
    3 & 6
  \end{bmatrix}
\cdot
  \begin{bmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    4 & 5 & 6
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    17 & 22 & 27 \\
    22 & 29 & 36\\
    27 & 36 & 45
  \end{bmatrix}

, што је сингуларна матрица, која не може да се инвертује.


Извори[уреди]