Каталанова хипотеза

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу

Каталанова хипотеза (или Михаилескова теорема) је претпоставка у теорији бројева који је претпоставио математичар Ежен Карлс Каталан 1844. године и доказао ју је 2002. године Преда Михаилеску.

23 и 32 су два степена природних бројева, чије су вредности 8 и 9, респективно, узастопне. Теорема тврди да је ово једини случај два узастопна степена. То значи, да је једино решење у природним бројевима

xayb = 1

за a, b > 1, x, y > 0 је x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

Историја[уреди]

Историја проблема датира још до Герсонидеса, који је доказао посебан случај у нагађању у 1343 где је (x, y) било ограничено паровима (2, 3) или (3, 2).

Године 1976. Роберт Тијдеман примењује Бејкер методу у теорији трансценденције да се успостави граница a,b  и користе постојећи резултате скока x,y  у смислу a,b давањем ефикасне горње границе за x,y ,a,b. Мишел Ленгвин израчунава вредност екс екп екп екп 730 за границу.[1] Ово решење каталонске хипотезе важи за све, али постоји коначан број случајева. Међутим, за коначан обрачун потребно је завршити доказ теореме али је потребно превише времена да се обави.

Каталанову хипотезу је доказао Преда Михаилеску у априлу 2002. године, тако да је сада понекад називају Михаилескова теорема. Доказ је објављен у Часопис Крепл Журнал, 2004. године. То чини велико коришћење теорије циклотомичном поља и Галуалови модула. Излагање доказа дао је Јури Билу у Семинару Бурбаки .

Генерализација[уреди]

То је претпоставка да за сваки природан број n су парови савршених степена коначних разлика n, види листу. 

(За мање бројеве (>0), види OEISA103953, и види link=On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences A076427 за бројевна решења (укључујући 0))

n бројеви k су такви да су k и k + n савршени степени n бројеви k су такви да су k и k + n савршени степени
1 0, 8 33 16, 256
2 25 34 Ништа
3 1, 125 35 1, 289, 1296
4 0, 4, 32, 121 36 0, 64, 1728
5 4, 27 37 27, 324, 14348907
6 Ништа 38 1331
7 1, 9, 25, 121, 32761 39 25, 361, 961, 10609
8 0, 1, 8, 97336 40 9, 81, 216, 2704
9 0, 16, 27, 216, 64000 41 8, 128, 400
10 2187 42 Ништа
11 16, 25, 3125, 3364 43 441
12 4, 2197 44 81, 100, 125
13 36, 243, 4900 45 4, 36, 484, 9216
14 Ништа 46 243
15 1, 49, 1295029 47 81, 169, 196, 529, 1681, 250000
16 0, 9, 16, 128 48 1, 16, 121, 21904
17 8, 32, 64, 512, 79507, 140608, 143384152904 49 0, 32, 576, 274576
18 9, 225, 343 50 Ништа
19 8, 81, 125, 324, 503284356 51 49, 625
20 16, 196 52 144
21 4, 100 53 676, 24336
22 27, 2187 54 27, 289
23 4, 9, 121, 2025 55 9, 729, 175561
24 1, 8, 25, 1000, 542939080312 56 8, 25, 169, 5776
25 0, 100, 144 57 64, 343, 784
26 1, 42849, 6436343 58 Ништа
27 0, 9, 169, 216 59 841
28 4, 8, 36, 100, 484, 50625, 131044 60 4, 196, 2515396, 2535525316
29 196 61 64, 900
30 6859 62 Ништа
31 1, 225 63 1, 81, 961, 183250369
32 0, 4, 32, 49, 7744 64 0, 36, 64, 225, 512

Пилајсова хипотеза[уреди]

Пилајсова хипотеза односи на општу разлику од савршених степена (секвенца А001597 у ОЕИС):тај отворен проблем је првобитно предложио С. С. Пилај, који је наслутио да празнине у низу савршених степена имају тенденцију бесконачности. Ово је еквивалентно рекавши да се сваки цео позитиван број  појављује само коначно много пута као разлика савршених остепена: генерално, године 1931. Пилај је претпоставио да за фиксне целе позитивне бројева A, B, C важи једнакост  и дошао до решења (x,y,m,n) са (m,n) ≠ (2,2). Пилај је доказао да је разлика  за било који λ мања од 1, равномерно m и n.[2]

Општа хипотеза се може пратити и преко ABC хипотезе[2][3]

Пал Ердеш је претпоставио да је нека позитивна константа c таква ако је d разлика савршеног степена n, тада d>nc важи за велике n.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ Ribenboim, Paulo (1979). 13 Lectures on Fermat's Last Theorem.
  2. 2,0 2,1 Narkiewicz 2011
  3. ^ Schmidt, Wolfgang M. (1996).

Литература[уреди]

Спољашње везе[уреди]