Квадратна форма

Квадратна форма је алгебарски појам који означава пресликавање , где је V векторски простор над пољем K, индуковано пресликавањем , и то тако да важи , а које испуњава услове:

, и

је билинеарно пресликавање.

Скуп свих оваквих пресликавања Ф означава се са Q(V, K), и за њега важи да је потпростор простора свих пресликавања из V у K ().

Особине квадратних форми[уреди | уреди извор]

С обзиром на дефиницију, уколико је F симетрична билинеарна форма, важиће и , за већ дате ознаке. Додатно, ако поље K није поље карактеристике 2, тада ће, имајући у виду дату једнакост, бити и .

Важи и обратно, тј. за ма које пресликавање Ф које испуњава 1° и 2° постојаће јединствена билинеарна форма F за коју важи и , али само уколико је карактеристика поља K већа од 2.

Управо ова једнозначност дозвољава увођење посебног назива за функцију Fполаризација или поларна форма квадратне форме Ф.

Поред овога, може се дефинисати и изоморфизам веторских простора Q(V, K) и S2(V, K) са .

Матрице квадратних форми[уреди | уреди извор]

Нека је Ф квадратна форма и F њена поларизација и А () матрица F у бази е (). Пошто је F билинеарна форма, важи , за неке X и Y. Но, како , то је , за X колону координата вектора u у бази е. Ипак, оваква матрица А није једнозначно одређена, али међу свима које испуњавају услов постоји јединствена која је симетрична. Ово је матрица поларизације F за Ф у бази е, а она се још назива и матрицом квадратне форме Ф у бази е, и означава се са . Слично као малопре, дата матрица квадратне форме одређује тачно једну квадратну форму (тј. важи и обрат). Општа матрица квадратне форме у бази димензије n је облика

,

тј. важи за i и j који су између 1 и n.

Детерминанта матрице квадратне форме Ф се још назива и дискриминантом квадратне форме, у ознаци . Уколико постоји још нека база простора Vg таква да тада важи .

Види још[уреди | уреди извор]

Литература[уреди | уреди извор]