Квадратни корен из 3

	Списак природних бројева \| Ирационалан број ζ(3); √2; √3; √5; φ; e; π;
Бинарни систем	1.10111011011001111010…
Децимални систем	1.7320508075688772935…
Хексадецимални систем	1.BB67AE8584CAA73B…
Верижни разломак

Квадратни корен из 3 је позитиван реалан број који, када се множи са собом, даје број 3 . Тачније се назива главни квадратни корен из 3, да би се разликовао од негативног броја са истим својством. Означен је са √3 .

Квадратни корен из 3 је ирационалан број . Познат је и као Теодорова константа, названа по Теодору из Цирене, који је доказао његову ирационалност.

Првих шездесет цифара његовог децималног проширења су:

1.73205080756887729352744634150587236694280525381038062805580… (секвенца A002194 у OEIS)

Од децембра 2013. године, њена бројчана вредност у децималним бројевима израчуната је на најмање десет милијарди цифара. ^[1]

Разломак 97/56 (7000173214285700000♠1,732142857 ...) за квадратни корен од три се може користити као приближна вредност. Упркос томе што има именилац од само 56, разликује се од правилне вредности за мање од 1/10,000 (приближно 6995920000000000000♠9,2×10⁻⁵). Заокружена вредност од 1.732 је тачна до 0,01% од стварне вредности.

Архимед пријавио $(1351 / 780) 2 > 3 > (265 / 153) 2$ , ^[2] тачно до 1/608400 (шест децималних места) и 2/23409 (четири децимале).

Може се изразити као верижни разломак [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] (низ А040001 у Енциклопедија низова целих бројева на мрежи), проширен са десне стране. Тako да је тачно рећи:

{\begin{bmatrix}1&2\\1&3\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}

онда када $n\to \infty$ :

{\sqrt {3}}=2\cdot {\frac {a_{22}}{a_{12}}}-1

Може се изразити преко генерализованог верижног разломака као што су

[2;-4,-4,-4,...]=2-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-\ddots }}}}}}

што је [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] оцењено на сваком другом термину.

Следећи угнеждени низ квадратних израза конвергирају ка √3 :

\!\ {\sqrt {3}}=2-2\left({\frac {1}{2}}-\left({\frac {1}{2}}-\left({\frac {1}{2}}-\left({\frac {1}{2}}-\dots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}={\frac {7}{4}}-4\left({\frac {1}{16}}+\left({\frac {1}{16}}+\left({\frac {1}{16}}+\left({\frac {1}{16}}+\dots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}.

Доказ ирационалности

Овај доказ ирационалност за √3 користи Пјер де Фермаову методу бесконачног порекла :

Претпоставимо да је √3 рационалан и изразите га на најнижи могући начин (тј. као потпуно смањени разломак ) као $m / n$ за природне бројеве $m$ и $n$ .

Стога ће множење са 1 дати једнак израз:

{\frac {m({\sqrt {3}}-q)}{n({\sqrt {3}}-q)}}

где је $q$ највећи цели број мањи од √3 . Имајте на уму да су и бројилац и именилац помножени са бројем мањим од 1.

Помоћу овога и множењем и бројиоца и именилаца добијамо:

{\frac {m{\sqrt {3}}-mq}{n{\sqrt {3}}-nq}}

Слиједи да се $m$ може замијенити са $\sqrt 3 n$ :

{\frac {n{\sqrt {3}}^{2}-mq}{n{\sqrt {3}}-nq}}

Затим се √3 такође може заменити са $m / n$ у називнику:

{\frac {n{\sqrt {3}}^{2}-mq}{n{\frac {m}{n}}-nq}}

Квадрат √3 се може заменити са 3. Како се $m / n$ множи са $n$ , њихов производ једнак је $m$ :

{\frac {3n-mq}{m-nq}}

Тада се √3 може изразити нижим изразима од $m / n$ (пошто је први корак смањио величине од бројиоца и имениоца, а следећи кораци их нису променили) као $3 n - mq / m - nq$ , што је супротност хипотези да је $m / n$ најнижи. ^[3]

Алтернативни доказ за то је претпоставка да је $\sqrt 3 = m / n$ са $m / n$ потпуно смањени разломак :

Множавање са $n$ обе стране, а затим квадрирањем даје

3n^{2}=m^{2}.

Пошто је лева страна дељива са 3, тако је и десна страна, захтевајући да $m$ буде дељив са 3. Тада се $m$ може изразити као $3 k$ :

3n^{2}=(3k)^{2}=9k^{2}

Стога, дељење обе стране са 3 даје:

n^{2}=3k^{2}

Како је десна страна дељива са 3, тако је и лева страна, па је и $n$ . Дакле, како су и $n$ и $m$ дељиви са 3, они имају заједнички делилац и $m / n$ није потпуно смањени раѕломак, супротстављена изворној премиси.

Геометрија и тригонометрија

Висина јендакостраничног троугла са ивицом дужине 2 је √3. (Еквивалентно са дужом катетом од 30-60-90 троугла са хипотенузом од 2.)

Квадратни корен од 3 се може наћи као дужина хипотенузе једнакостраничног троугла који обухвата круг пречника 1.

Ако је једнакостранични троугао са странама дужине 1 подељен на два једнака дела, дељењем унутрашњег угла како би направили прав угао са једном страном, прав угла троуглове хипотенузе је дужина један и стране су дужине 1/2 и √3/2. Из овога је тригонометријска функција тангенте од 60° једнака √3 и синус од 60° и косинус 30° и једнаке √3/2.

Квадратни корен од 3 се такође појављује у алгебарским изразима за разне друге тригонометријске константе, укључујући ^[4] синус од 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84°, и 87°.

То је растојање између паралелних страна правилног шестоугла са страницама дужине 1. На комплексној равни, то растојање се изражава као $i \sqrt 3$ поменуто у наставку.

То је дужина дијагонале јединичне коцке .

Весица писцис има однос главне осе до мање осе једнак 1: √3, што се може показати конструкцијом два једнакостранична троугла у себи.

Квадратни корен од −3

Множењем √3 помоћу имагинарне јединице даје квадратни корен -3, који је имагинарни број . Тачније,

{\sqrt {-3}}=\pm {\sqrt {3}}i

(види квадратни корен негативних бројева). То је Ајзенштајнов цео број. Наиме, изражава се као разлика два нереална кубна корена од 1 (који су Ајзенштајнови цели бројеви).

Друге намене

Енергетика

У електроенергетици, напон између две фазе у трофазном систему је једнака √3 пута линији неутралног напона. То је зато што било које два фазе су 120° размакнуте, и две тачке на кругу од 120 степени су раздвојене √3 пута полупречника (види примере геометријe горе).

Види још

Референце

^ Łukasz Komsta. „Computations | Łukasz Komsta”. komsta.net. Архивирано из оригинала 04. 11. 2016. г. Приступљено 24. 9. 2016.
^ Knorr, Wilbur R. (1976), „Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation”, Archive for History of Exact Sciences, 15 (2): 115—140, JSTOR 41133444, MR 0497462, doi:10.1007/bf00348496 .
^ Grant, M.; Perella, M. (јул 1999). „Descending to the irrational”. Mathematical Gazette. 83 (497): 263—267. doi:10.2307/3619054.
^ Julian D. A. Wiseman Sin and Cos in Surds

Литература

S., D.; Jones, M. F. (1968). „22900D approximations to the square roots of the primes less than 100”. Mathematics of Computation. 22 (101): 234—235. JSTOR 2004806. doi:10.2307/2004806.
Uhler, H. S. (1951). „Approximations exceeding 1300 decimals for √3, 1/√3, sin( $π$ /3) and distribution of digits in them”. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 37 (7): 443—447. PMC 1063398 . PMID 16578382. doi:10.1073/pnas.37.7.443. templatestyles stripmarker у |title= на позицији 142 (помоћ)
Wells, D. (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (Revised изд.). London: Penguin Group. стр. 23.

Спољашње везе

Теодорова константа на Math World
[1] Кевин Браун
[2] Е.Б. Давис

[1] Łukasz Komsta. „Computations | Łukasz Komsta”. komsta.net. Архивирано из оригинала 04. 11. 2016. г. Приступљено 24. 9. 2016.

[2] Knorr, Wilbur R. (1976), „Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation”, Archive for History of Exact Sciences, 15 (2): 115—140, JSTOR 41133444, MR 0497462, doi:10.1007/bf00348496 .

[Grant-3] Grant, M.; Perella, M. (јул 1999). „Descending to the irrational”. Mathematical Gazette. 83 (497): 263—267. doi:10.2307/3619054.

[4] Julian D. A. Wiseman Sin and Cos in Surds

[1]

[2]

[3]

[4]