Коваријантан извод

Из Википедије, слободне енциклопедије
Паралелни транспорт на сфери

Коваријантан извод у диференцијалној геометрији представља генерализацију општега извода за тензорска поља и векторе у криволинијским координатним системима. Коваријантни извод тензорскога поља у смеру тангентнога вектора означава се . Означава се на више различитих начина За вектор коваријантни извод је дан са следећом формулом:

Паралелни транспорт[уреди]

Коваријантни и обични извод не разликују се за скаларне функције, али разликује се за векторе и тензоре. За уобичајен Декартов координатни систем добро је дефинисано одузимање вектора, који се налазе у различитим тачкама простора. Два вектора се одузму тако да се један од њих транслатује до другога и онда се се изврши одузимање. За криволинијске координате паралени транспорт или транслација вектора изводи се тако да се вектор транслатује до другога вектора, али пошто у криволинијским координатама транслација није иста као у равном координатном систему појављује се разлика приликом транслације у два различита система.

Извод формуле[уреди]

Када у криволинијском систему одузимамо два вектора поред уобичајене разлике два вектора у правоугаоном систему имамо и додатну разлику због паралелнога транспорта једнога вектора до другога.

Нека у вектор има вредност а у некој тачки вредност Ако вектор транспортујемо до он се због паралелнога транспорта у криволинијским координатама промени за Укупна разлика два вектора постаје онда:

Ту се користи Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута. Паралелни транспорт зависан је од Кристофелових симбола:

Пошто је добија се:

односно

Коваријантни извод за тензоре[уреди]

Постоји више различитих ознака за коваријантан извод: нпр:

Коваријантни извод векторскога поља је:

Уколико се ради о систему, који нема закривљене координате или ако су Христофелови коефицијенти једнаки нули онда се коваријантан извод за векторе не разликује од обичнога извода.

Коваријантни извод скаларнога поља једнак је обичном изводу:

а коваријантни извод ковекторскога поља је


Коваријантни извод тензорскога поља је

тј.

За мешано тензорско поље имамо:

а за тензорско поље поље типа (0,2) коваријантан извод је:

Коваријантни извод за неки тензор типа (n, m) је:

Литература[уреди]