Комутативни прстен

С Википедије, слободне енциклопедије

У теорији прстена, грани апстрактне алгебре, комутативни прстен је прстен у коме је операција множења комутативна. Ово значи да ако су a и b било која два елемента прстена, онда је a×b=b×a.

Проучавање комутативних прстена се назива комутативна алгебра.

Дефиниција и први примери[уреди | уреди извор]

Дефиниција[уреди | уреди извор]

Прстен је скуп опремљен са две бинарне операције, тј. операцијама које комбинују било која два елемента прстена у трећи. Зову се сабирање и множење и обично се означавају са „” и „”; на пример и . Да би се формирао прстен, ове две операције морају да задовоље бројна својства: прстен мора бити абелова група под сабирањем, као и моноид под множењем, где се множење дистрибуира преко сабирања; тј. . Елементи идентитета за сабирање и множење су означени са и , респективно.

Ако је множење комутативно, тј.

тада се прстен назива комутативним. У остатку овог чланка, сви прстенови ће бити комутативни, осим ако је експлицитно другачије наведено.

Први примери[уреди | уреди извор]

Важан пример, и у неком смислу кључан, је прстен целих бројева са две операције сабирања и множења. Пошто је множење целих бројева комутативна операција, ово је комутативни прстен. Обично се означава са као скраћеница од немачке речи Zahlen (бројеви).

Поље је комутативни прстен где је и сваки елемент који није нула је инверзибилан; тј. има мултипликативну инверзну вредност такву да је . Према томе, по дефиницији, било које поље је комутативни прстен. Рационални, реални и комплексни бројеви формирају поља.

Ако је дати комутативни прстен, онда скуп свих полинома у променљивој чији су коефицијенти у формира полиномски прстен, означен као . Исто важи и за неколико променљивих.

Ако је неки тополошки простор, на пример подскуп неког, континуалне функције реалне- или комплексне вредности на формирају комутативни прстен. Исто важи и за диференцијабилне или холоморфне функције, када су два концепта дефинисана, као што је комплексна многострукост.

Дељивост[уреди | уреди извор]

За разлику од поља, где је сваки елемент различит од нуле мултипликативно инвертибилан, концепт дељивости за прстенове је богатији. Елемент прстена назива се јединица ако поседује мултипликативну инверзну вредност. Други посебан тип елемента су делиоци нуле, односно елемент прстена такав да постоји елемент прстена који није нула, при чему је . Ако не поседује делиоце нуле који нису нула, назива се интегрални домен (или домен). Елемент који задовољава за неки позитиван цео број се назива нилпотентним.

Локализације[уреди | уреди извор]

Локализација прстена је процес у коме се неки елементи претварају у инвертибилне, тј. у прстену се додају мултипликативни инверзи. Конкретно, ако је мултипликативно затворен подскуп од (тј. кад год онда је и ) онда је локализација на , или прстен разломака са имениоцима у , који се обично означава састављен од симбола

with

подлежу одређеним правилима која опонашају поништавање познато из рационалних бројева. Заиста, на овом језику је локализација различита од нуле за све целе бројеве. Ова конструкција функционише за било који интегрални домен уместо . Локализација је поље које се назива количник поља .

Примери[уреди | уреди извор]

  • Најважнији пример је прстен целих бројева са операцијама сабирања и множења. Уобичајено множење целих бројева је комутативно. Прстен се обично обележава словом Z, од немачке речи Zahlen (бројеви).
  • Рационални, реални и комплексни бројеви чине комутативне прстене; они су штавише поља.
  • Општије, свако поље је комутативни прстен, па је класа поља поткласа класе комутативних прстенова.
  • Прост пример некомутативног прстена је скуп свих матрица димензије 2-са-2 чији су елементи реални бројеви. На пример, множење матрица
није једнако множењу изведеном супротним редоследом:
  • Ако је n позитиван цео број, тада скуп Zn целих бројева по модулу n чини комутативни прстен са n елемената (види модуларна аритметика).
  • Ако је R дати комутативни прстен, онда је скуп свих полинома променљиве X чији коефицијенти су из R гради нови комутативни прстен који се означава са R[X].

Локални прстени[уреди | уреди извор]

прстен се назива локалним ако има само један максимални идеал, означен са m. За било који (не нужно локални) прстен R, локализација

Rp

на простом идеалу p је локалнa. Ова локализација одражава геометријска својства Спец R „око p”. Неколико појмова и проблема у комутативној алгебри могу се свести на случај када је R локално, што локалне прстенове чини посебно дубоко проучаваном класом прстенова. Поље остатка R је дефинисано као

k = R / m.

Било који R-модул M даје k-векторски простор дат са M / mM. Накаjамина лема показује да овај пасус чува важне информације: коначно генерисани модул M је нула ако и само ако је M / mM нула.

Редовни локални прстенови[уреди | уреди извор]

Крива кубне равни (црвена) дефинисана једначином y2 = x2(x + 1) је сингуларна у почетку, односно, прстен k[x, y] / y2x2(x + 1), није регуларан прстен. Тангентни конус (плави) је спој две праве, који такође одражава сингуларност.

k-векторски простор m/m2 је алгебарска инкарнација котангенсног простора. Неформално, елементи од m се могу сматрати функцијама које нестају у тачки p, док m2 садржи оне које нестају редоследом од најмање 2. За било који Нетеров локални прстен R, неједнакост

dimk m/m2 ≥ dim R

важи, одражавајући идеју да котангентни (или еквивалентно тангентни) простор има најмање димензију простора Спец R. Ако је једнакост истинита у овој процени, R се назива регуларним локалним прстеном. Нетеров локални прстен је правилан ако и само ако је прстен (који је прстен функција на тангентном конусу)

изоморфан полиномском прстену над k. Уопштено говорећи, регуларни локални прстенови су донекле слични полиномским прстеновима.[1] Уобичајени локални прстенови су УФД-ови.[2]

Дискретни прстенови за вредновање су опремљени функцијом која додељује цео број било ком елементу r. Овај број, назван вредновање r, може се неформално сматрати нултим или полним редом r. Дискретни вредносни прстенови су управо једнодимензионални регуларни локални прстенови. На пример, прстен клица холоморфних функција на Римановој површини је дискретни вредносни прстен.

Комплетни пресеци[уреди | уреди извор]

Уврнути кубни (зелена) је потпуни пресек у теорији скупова, али не и потпуни.

По Круловој главној теореми идеала, темељном резултату теорије димензија прстенова, димензија

R = k[T1, ..., Tr] / (f1, ..., fn)

је најмање rn. Прстен R се назива комплетним пресечним прстеном ако се може представити на начин који постиже ову минималну границу. Овај појам се такође углавном проучава за локалне прстенове. Сваки регуларни локални прстен је комплетан пресечни прстен, али не и обрнуто.

Прстен R је потпуни пресек у теорији скупова ако је редуковани прстен придружен R, тј. онај добијен дељењем свих нилпотентних елемената, потпуни пресек. Према подацима из 2017. године, генерално је непознато да ли су криве у тродимензионалном простору потпуни пресеци теоријских скупова.[3]

Коен-Маколејеви прстенови[уреди | уреди извор]

Дубина локалног прстена R је број елемената у неком (или, како се може показати, било ком) максималном регуларном низу, тј. низу a1, ..., anm тако да су сви ai делиоци различити од нуле у

R / (a1, ..., ai−1).

За било који локални Нетеров прстен, важи неједнакост

depth (R) ≤ dim (R)

Локални прстен у коме се остварује једнакост назива се Коен–Маколејев прстен. Локални комплетни пресечни прстенови, и а фортиори, регуларни локални прстенови су Коен–Маколеј, али не и обрнуто. Кохен–Макалеј комбинује пожељна својства регуларних прстенова (као што је особина да буду универзални ланчани прстенови, што значи да се (ко)димензија простих бројева добро понаша), али су такође робустнији у узимању количника од регуларних локалних прстенова.[4]

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ Matsumura (1989, стр. 143, §7, Remarks)
  2. ^ Matsumura (1989, §19, Theorem 48)
  3. ^ Lyubeznik (1989)
  4. ^ Eisenbud (1995, Corollary 18.10, Proposition 18.13)

Литература[уреди | уреди извор]

Спољашње везе[уреди | уреди извор]

Медији везани за чланак Комутативни прстен на Викимедијиној остави