Конструктибилни универзум

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу

Да би се могао у потпуности разумети овај чланак, потребно је прво прочитати чланак Теорија скупова континуума, те чланке који му претходе.

У ЦФ теорији појам скупа није дефинисан већ представља основни концепт. Ово за последицу има да нека питања у ЦФ теорији не могу бити одговорена.

ЦФ аксиоме описују својства скупова и теоријски универзум скупова. На пример, ако је неки бесконачни скуп аксиома партитивног скупа каже да постоји скуп који чине сви подскупови скупа . Остале ЦФ аксиоме нам не кажу много о елементима посдкуповима скупа нити нам кажу ишта о величини овог скупа. Аксиома свеобухватности каже да се састоји од скупова који се, на неки добро дефинисан начин, могу описати. Аксиома избора обезбеђује различите скупове избора и добру уређеност. Реч "сви" у фрази "сви подскупови скупа" није ни на који начин објашњена. Све док појам како је дефинисан није упитан, ЦФ теорија скупова је потпуно смислена. Али ту је главни недостатак ЦФИ теорије скупова: постоји неколико питања која се лако могу поставити а која не могу бити одговорена ако се користе само ЦФИ аксиоме. Класичан пример једног таквог питања је статус хипотезе континуума . Може се тврдити да о овој једнакости се не може ништа рећи у ЦФИ пошто ЦФИ аксиоме ништа не кажу шта чини посдкуп скупа . Тиме се не може повезати величина скупа са бесконачним кардиналним бројем .

Да би се превазишла ова тешкоћа, дошло се до идеје да се ЦФИ прошири тако што би се дало више информације о скупу. Једна од успешних реализација ове идеје је Геделовова теорија конструктибилног универзума.

Геделовова теорија конструктибилног универзума[уреди]

Геделов коструктибилни универзум се дефинише трансфинитном рекурзијом:

, у случају када је α гранични ординал.

Posebno,

.

при чему је:

а Геделова операција затворења за произвољан скуп

Функција : је еквивалентна конјункцији следеће две формуле:

(a)
(b)

У горњем контексту је .

Гедел је показао да задовољава све ЦФИ аксиоме а тиме и ЦФ. На тај начин задовољава уопштену хипотезу континуума (УХК) тј. , за сваки ординал .

Тврдња , где је универзум свих скупова, се зове аксиома конструктибилности (АК) која тврди да сваки скуп припада , која је тиме сагласна са ЦФИ и из које (АК) се дају извести АИ и УХК.

Права класа , заједно са релацијом ограниченом само на , је унутрашњи модел ЦФИ тј. нека транзитивна (тј. која садржи све елементе сопствених елемената) класа која садржи све ординале и задовољава све ЦФИ аксиоме. Права класа је, на тај начин, најмањи унутрашњи ЦФИ модел, пошто сваки други унутрашњи модел садржи праву класу.

За било који скуп може се конструисати најмањи ЦФ транзитивни модел који садржи и све ординале на сличан начин као и , али где се почиње са транзитивним затварањем , тј. најмањи транзитивни скуп који садржи уместо . Резултујући модел није нужно АИ модел. Један врло значајан АИ модел је , најмањи ЦФ транзитивни модел који садржи све ординале и све реалне бројеве.

Литература[уреди]

  • Keith J. Devlin, Constructibility (Berlin: Springer-Verlag, 1984), 56-107
  • Aleksandar Perović, Aleksandar Jovanović, Boban Veličković: Teorija skupova, Matematički fakultet, Beograd 2007