Координате

Из Википедије, слободне енциклопедије
Сферни координатни систем се често користи у физици. Он садржи три броја (позната као координате) за сваку тачку у Еуклидовом простору: радијално растојање r, поларни угао θ (тета), и азимутски угао φ (фи). Симбол ρ (ро) се често користи уместо r.
Правоугаони просторни (тродимензионални) координатни систем.

Координате су бројни или угловни елементи који одређују положај неке тачке у равни или простору. Зависно од потребе, координате могу бити одређене са једном, две, или три тачке.

У геометрији, координатни систем је систем који користи један или више бројева, или координата, да јединствено одреди позицију тачака или других геометријских елемената на манифолду као што је Еуклидов простор.[1][2] Редослед координата је значајан, и оне су понекад идентификују по њиховој позицији у уређеној N-торци а понекад словом, као у „x-координата”. Координате су реални бројеви у елементарној математици, али могу да буду комплексни бројеви или елементи апстрактнијег система као што је комутативни прстен. Употреба координатног система омогућава проблемима у геометрији да буду транслирани у проблеме о бројевима vice versa; то је основа аналитичке геометрије.[3]

Уобичајени координатни системи[уреди]

Координатни систем је скуп линија и равни које се користе за недвосмислено одређивање положаја неког објекта његовим координатама. Постоји више врста координатних система.

  • Координатни системи у равни:
    • Правоугли координатни систем. Две праве линије (координатне осе) се секу под правим углом у једној тачки (координатни почетак, исходиште). Хоризонтална оса је икс (X) оса (апцисна оса), а вертикална оса је ипсилон (Y) оса (ординатна оса).
    • Косоугли координатни систем. Разликује се од правоуглог по томе што угао између координатних оса није 90 степени.
    • Поларни координатни систем. Има усвојени координатни почетак О и оријентисану праву линију ОП (поларна оса). Положај тачке је одређен поларним координатама: ро (ρ) (поларна раздаљина, радијус вектор, потег) и фи (φ) (поларни угао, аномалија, амплитуда).
  • Координатни системи у простору:
    • Правоугли или косоугли. Овај систем стварају три координатне осе, X, Y и Z, које се међусобно секу под неким углом. Положај тачке је одређен са три координате — апсциса X, ордината Y и апликата Z.
    • Цилиндрични. Поларни координатни систем је у равни XY, а смер координатне осе Z. Цилиндричне координате су φ, ρ и Z.
    • Сферни. Образују га два поларна система. Постоји раван XY и раван ZT. Сферне координате. r, ρ и φ се зову и поларне координате у простору.

Бројна оса[уреди]

Најјеноставнији пример цоординатног система је идентификација тачака на линији са реалним бројевима користећи бројну линију. У том систему, једна арбитрарна тачка O (координатни почетак) се бина на датој линији. Координата тачке P је дефинисана као растојање од O до P, при чему то растојање може да буде позитивно или негативно у зависности од тога на којој страни линије P лежи. Свакој тачки је додељена јединствена координата и сваки реални број је координата јединствене тачке.[4]

Бројна оса

Картезијски координатни систем[уреди]

Прототипни пример координатног система је Картезијски координатни систем. У равни, две нормалне линије су изабране и координате тачке су дате као растојања на линијама.

У три димензије, три међусобно нормалне равни се изабране и три координате тачке су растојања до сваке равни.[5] Ово се може генералисати креирањем n координата за сваку тачку у n-димензионом Еуклидовом простору.

У зависности од смера и редоследа координатних оса систем може да буде десноруки или леворуки систем. Ово је један од многих координатних система.

Поларни координатни систем[уреди]

Још један координатни систем у широкој употреби је поларни координатни систем.[6] Једна тачка се бира као пол и права која пролази кроз ту тачку се узима као поларна оса. За дати угао θ, постоји једна линија кроз пол чији угао са поларном осом је θ (мерено насупрот кретању казаљки на сату од осе до те линије). Затим постоји јединстевена тачка на тој линији чије растојање од координатног почетка је r за дати број r. За дати пар координата (r, θ) постоји једна тачка, мада је свака тачка представљена многим паровима координата. На пример, (r, θ), (r, θ+2π) и (−r, θ+π) су све координте исте тачке. Координатни почетак се представља са (0, θ) за било коју вредност θ.

Цилиндрични и сферни координатни систем[уреди]

Постоје два уобичајена метода за проширивање поларног координатног система у три димензије. У цилиндричном координатном систему, z-координата са истим значењем као у Картезијским координатама се додаје на r и θ поларне координате чиме се формира триплет (r, θ, z).[7] Сферичне координате чине корак даље конвертујући пар цилиндричних координата (r, z) у поларне координате (ρ, φ) чиме се формира триплет (ρ, θ, φ).[8]

Хомогени координатни систем[уреди]

Тачка у равни се може представити у хомогеним координатама у виду триплета (x, y, z) где су x/z и y/z Картезијске коordinate те тачке.[9] Овим се уводи једна „екстра” координата пошто су само две потребне за специфицирање тачке у равни, међутим овај систем је користан зато што представља сваку тачку на пројективној равни без употребе бесконачности. Генерално, хомогени координатни систем је онај у коме су само односи координата значајни и не стварне вредности.

Други често кориштени системи[уреди]

Неки други координатни системи у широкој употреби су:

Постоје начини за описивање кривих без координата, користећи интринзичне једначине које користе инваријантне квантитете као што су закривљеност и дужина лука. Ови су обухваћене:

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. Woods. стр. 1.
  2. Weisstein, Eric W. „Coordinate System”. MathWorld. 
  3. Weisstein, Eric W. „Coordinates”. MathWorld. 
  4. Stewart, James B.; Redlin, Lothar; Watson, Saleem (2008). College Algebra (5th изд.). Brooks Cole. стр. 13–19. ISBN 0-495-56521-0. 
  5. Moon P, Spencer DE (1988). „Rectangular Coordinates (x, y, z)”. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd, 3rd print изд.). New York: Springer-Verlag. стр. 9—11(Table 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2. 
  6. Finney, Ross; Thomas, George; Franklin Demana; Waits, Bert (јун 1994). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic (Single Variable Version изд.). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X. 
  7. Margenau, Henry; Murphy, George M. (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York City: D. van Nostrand. стр. 178. ISBN 9780882754239. LCCN 55010911. OCLC 3017486. 
  8. Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. стр. 658. LCCN 52011515. ISBN 0-07-043316-X. 
  9. Jones, Alfred Clement (1912). An Introduction to Algebraical Geometry. Clarendon. 

Литература[уреди]

Спољашње везе[уреди]