Корисник:TV2714/песак

С Википедије, слободне енциклопедије
Пређи на навигацију Пређи на претрагу


Opšti logaritmi[уреди | уреди извор]

Grafik opšteg logaritma brojeva od 0.1 do 100.

U matematici, opšti logaritam je logaritam sa bazom 10. [1] Poznat je i kao dekadni logaritam i kao decimalni logaritam, nazvan po svojoj bazi, ili Brigsijev logaritam, posle Henrija Brigsa, engleskog matematičara koji je uveo njegovu upotrebu, kao i standardni logaritam. Istorijski, bio je poznat kao logarithmus decimalis [2] ili logarithmus decadis. [3] Označen je sa log10(x), ili ponekad sa Log(x) sa glavnim L (međutim, ova notacija je dvosmislena, jer može značiti i kompleksnu prirodnu logaritamsku višestruku funkciju). Na kalkulatorima je obično "log", ali matematičari obično misle na prirodni logaritam (logaritam sa bazom e ≈ 2.71828), a ne na opšti logaritam kada pišu "log". Da bi se ublažila ova dvosmislenost, specifikacija ISO 80000 preporučuje da log10(x) bude označen kao lg(x), a loge(x) treba da bude kao ln(x).

Korišćenje[уреди | уреди извор]

Stranica iz tabele uobičajenih logaritama. Ova stranica prikazuje logaritme za brojeve od 1000 do 1500 do pet decimalnih mesta. Kompletna tabela obuhvata vrednosti do 9999

Pre ranih 1970tih, ručni elektronski kalkulatori nisu bili dostupni i mehanički kalkulatori koji su bili sposobni za množenje bili su glomazni, skupi i nisu bili široko dostupni. Umesto toga, tabele logaritama sa osnovom-10 su korišćene u nauci, inženjerstvu i navigaciji kada su proračuni zahtijevali veću preciznost nego što bi se moglo postići pomoću kliznog pravila. Korišćenjem logaritama izbegnuto je mukotrpno i pogrešno umnožavanje papira i olovaka i podela. Pošto su logaritmi bili tako korisni, tabele sa osnovom-10 logaritama su date u prilozima mnogih udžbenika. Matematički i navigacioni priručnici sadrže i tabele logaritama trigonometrijskih funkcija.[4] Pogledajte log tabelu za istoriju takvih tabela.

Važno svojstvo logaritama sa osnovom-10, što ih čini tako korisnim u kalkulacijama, je da logaritam brojeva većeg od 1 koji se razlikuju za faktor snage od 10 imaju isti frakcijski deo. Frakcioni deo je poznat kao mantisa[note 1]. Stoga log tabele moraju samo pokazati frakcijski deo. Tabele zajedničkih logaritama tipično navode mantisu, na četiri ili pet decimalnih mesta ili više, svakog broja u opsegu, npr. 1000 do 9999. Takav opseg bi pokrivao sve moguće vrednosti mantise.

Celobrojni deo, koji se naziva karakteristika, može se izračunati tako što se broji koliko mesta decimalnu tačku treba pomeriti tako da se nalazi desno od prve značajne cifre. Na primer, logaritam od 120 dat je sledećim proračunom:


Poslednji broj (0.07918) - frakcijski deo ili mantisa zajedničkog logaritma 120 - može se naći u prikazanoj tabeli. Lokacija decimalne tačke u 120 govori nam da je celobrojni deo zajedničkog logaritma od 120, karakteristika, 2.Brojevi veći od 0 i manji od 1 imaju negativne logaritme. Na primer,



Da bi se izbegla potreba za odvojenim tabelama za konvertovanje pozitivnih i negativnih logaritama nazad u njihove prvobitne brojeve, koristi se oznaka bara:


Šipka iznad karakteristike pokazuje da je negativna, dok mantisa ostaje pozitivna. Prilikom očitavanja broja na glas, simbol "bar 2 tačka 07918…".

Sledeći primer koristi notaciju bara za izračunavanje 0.012 × 0.85 = 0.0102:

*Ovaj korak čini mantisu između 0 i 1, tako da se njegov antilog (10^mantissa) može pogledati.

Sledeća tabela pokazuje kako se ista mantisa može koristiti za raspon brojeva koji se razlikuju po moćima od deset:


Zajednički logaritam, karakteristika i mantisa moći od 10 puta broj
Broj Logaritam Karakteristika Mantisa Combined form
n = 5 × 10i log10(n) i = floor(log10(n)) log10(n) − i
5 000 000 6.698 970… 6 0.698 970… 6.698 970…
50 1.698 970… 1 0.698 970… 1.698 970…
5 0.698 970… 0 0.698 970… 0.698 970…
0.5 −0.301 029… −1 0.698 970… 1.698 970…
0.000 005 −5.301 029… −6 0.698 970… 6.698 970…


Imajte na umu da je mantisa zajednička za sve ovo važi za bilo koji pozitivan realni broj zbog

Pošto je i uvek ceo broj, mantasia dolazi od , koja je konstantna za dati . Ovo omogućava tabeli logaritama da uključe samo jedan unos za svaku mantisu. U primjeru , 0.698 970 (004 336 018…) će biti popisani jednom indeksirani sa 5 (ili 0.5, ili 500, itd.).

Istorija[уреди | уреди извор]

Opšti logaritmi se ponekad nazivaju i "Brigsijanovim logaritmima" nakon Henrija Brigsa, britanskog matematičara iz 17. veka. 1616. i 1617. godine, Brigs je posetio Džona Nepera, pronalazača onoga što se sada zove prirodni (baza-e) logaritmi u Edinburgu, kako bi predložili promenu u Neperovim logaritmima. Tokom ovih konferencija dogovorena je izmena koju je predložio Brigs; a nakon povratka iz druge posete, objavio je prvih 1000 svojih logaritama.

Pošto su logaritmi sa bazom 10 bili najkorisniji za računanje, inženjeri su uglavnom pisali "" kada su mislili na . Matematičari su, s druge strane, pisali "" kada su mislili na za prirodni logaritam. Danas se nalaze obe oznake. Pošto su ručni elektronski kalkulatori projektovani od strane inženjera, a ne matematičara, postalo je uobičajeno da prate oznake inženjera. Dakle, notacija, prema kojoj se piše "ln(x)" kada je prirodni logaritam namenjen, možda je dalje popularizovana samim pronalaskom koji je koristio "opšte logaritme" daleko manje uobičajene, elektronske kalkulatore.

Numerička vrednost[уреди | уреди извор]

Numerička vrednost za logaritam na bazu 10 može se izračunati sa sledećim identitetom.

Dugmići za logaritam(log za bazu-10 i ln za bazu-e) na tipičnom naučnom kalkulatoru. Pojava ručnih kalkulatora uveliko je eliminisala upotrebu opštih logaritama kao pomoć u izračunavanju.

     ili      

jer procedure postoje za određivanje numeričke vrednosti za logaritamsku osnovu e i logaritamsku osnovu 2.

Vidite još[уреди | уреди извор]

  • Cologaritam
  • Istorija logaritma
  • Log tablica
  • Broj sa pomičnim zarezom

Napomene[уреди | уреди извор]

  1. ^ This use of the word mantissa stems from an older, non-numerical, meaning: a minor addition or supplement, e.g., to a text. Nowadays, the word mantissa is generally used to describe the fractional part of a floating-point number on computers, though the recommended term is significand.

Reference[уреди | уреди извор]

  1. ^ Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (јануар 1909). „Chapter IV. Logarithms [23] Common logarithms”. Написано на Ann Arbor, Michigan, USA. Trigonometry. Part I: Plane Trigonometry. New York, USA: Henry Holt and Company / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA. стр. 31. Приступљено 2017-08-12. 
  2. ^ Euler, Leonhard; Speiser, Andreas; du Pasquier, Louis Gustave; Brandt, Heinrich; Trost, Ernst (1945) [1748]. Speiser, Andreas, ур. Introductio in Analysin Infinitorum (Part 2). Opera Omnia, Opera Mathematica. 1 (на језику: Latin). 9. B.G. Teubner. 
  3. ^ Scherffer, P. Carolo (1772). Institutionum Analyticarum Pars Secunda de Calculo Infinitesimali Liber Secundus de Calculo Integrali (на језику: Latin). 2. Joannis Thomæ Nob. De Trattnern. стр. 198. 
  4. ^ Hedrick, Earle Raymond (1913). Logarithmic and Trigonometric Tables. New York, USA: Macmillan. 

Eksterni linkovi[уреди | уреди извор]