Коши-Шварцова неједнакост

С Википедије, слободне енциклопедије

Коши-Шварцова неједнакост, позната и као неједнакост Коши-Шварц-Буњаковског, корисна је неједнакост која се примењује у многим областима математике као што су линеарна алгебра, анализа, теорија вероватноће и друге. Сматра се једном од најважнијих неједнакости у математици.[1]

Неједнакост за суме открио је Огистен Луј Коши (1821), док је одговарајућу неједнакост за интеграле први доказао Виктор Буњаковски (1859). Интегралну неједнакост нешто касније је открио, независно од Буњаковског, и Херман Шварц (1888)[1].

Исказ неједнакости[уреди | уреди извор]

Коши-Шварцова неједнакост тврди да за све векторе и унитарног векторског простора важи

где представља унутрашњи производ. Еквивалентно, квадрирањем обе стране претходне неједнакости, уз коришћење норме вектора, неједнакост се може записати у облику[2][3]

Специјално, једнакост важи ако и само ако су и линеарно зависни (што значи да су паралелни: један од вектора и је нула вектор, или представља скаларни умножак другог).[4][5]

Ако је и , и унутрашњи производ је стандардни комплексни унутрашњи производ, тада се неједнакост може експлицитно изразити на следећи начин (где црта изнад означава комплексну конјугацију):

односно

Докази[уреди | уреди извор]

Први доказ[уреди | уреди извор]

Нека су и произвољни вектори векторског простора над са унутрашњим производом, где је поље реалних или комплексних бројева. Желимо да докажемо неједнакост

као и да једнакост важи ако и само ако је један од вектора и скаларни умножак другог (специјално, (бар) један од вектора је нула вектор).

Ако је , јасно је да тада важи једнакост, а такође и да су и линеарно зависни (без обзира на вектор ), тако да закључујемо да у овом случају тврђење важи. Аналогно се показује за случај . Претпоставимо стога да није нула вектор.

Нека је

Тада, због линеарности унутрашњег производа по првом аргументу, имамо да је

Одавде следи да је вектор ортогоналан на (заиста, је пројекција вектора на раван ортогоналну на ). Стога можемо да применимо Питагорину теорему на

,

што нам даје

одакле, након множења са и узимања квадратног корена обе стране, добијамо Коши-Шварцову неједнакост. Додатно, ако у претходном изразу уместо важи једнакост, тада је , односно ; тада нам дефиниција вектора даје линеарну зависност вектора и .

Са друге стране, ако су и линеарно зависни, тада постоји тако да је (јер је ). Тада имамо

Овиме је тврђење доказано.

Други доказ[уреди | уреди извор]

Нека су и произвољни вектори унитарног векторског простора над .

У специјалном случају тврђење тривијално важи. Претпоставимо сада да је . Нека је дато са . Тада је

Дакле, имамо да важи , oдносно , што је и требало доказати.

Ако у претходној неједнакости заправо важи једнакост, онда је , односно , одакле следи да су и линеарно зависни. Са друге стране, ако су и линеарно зависни, тада се као у првом доказу добија да важи .

Више доказа[уреди | уреди извор]

Постоји још много различитих доказа Коши-Шварцове неједнакости.[6] При разматрању других извора, често долази до забуне из два разлога. Прво, неки аутори дефинишу ⟨⋅,⋅⟩ као оператор који је линеаран по другом аргументу, уместо по првом. Друго, неки докази важе само у случају када се ради над пољем , а не .[7]

Специјални случајеви[уреди | уреди извор]

Титуова лема[уреди | уреди извор]

Титуова лема (названа по математичару имена Titu Andreescu, позната још и као Т2 лема, Енгелова форма, или Седракјанова неједнакост) тврди да за позитивне реалне бројеве важи

Ова лема је директна последица Коши-Шварцове неједнакости, добијена сменом и Овај облик посебно је користан када се у неједнакости појављује разломак чији је бројилац потпун квадрат.

R2 (стандардни дводимензионални простор)[уреди | уреди извор]

У обичном дводимензионалном простору са скаларним производом, нека је и . Коши-Шварцова неједнакост тада има облик

где је угао између вектора и

Овај облик је вероватно и најједноставнији за разумевање неједнакости, с обзиром да квадрат косинуса може бити највише 1, а то се дешава када су вектори истог или супротног смера (дакле, када су линеарно зависни). Претходна неједнакост може се расписати и преко координата вектора и , чиме се добија

при чему једнакост важи ако и само ако је вектор истог или супротног смера у односу на вектор или ако је један од њих нула вектор.

Rn (n-димензионални еуклидски простор)[уреди | уреди извор]

У еуклидском простору са стандардним унутрашњим производом, Коши-Шварцова неједнакост гласи

У овом случају, дата неједнакост се може доказати и помоћу елементарне алгебре. Наиме, посматрајмо следећи квадратни полином по :

Како је дати квадратни полином ненегативан, он може имати највише један реалан корен, одакле следи да је његова дискриминанта мања или једнака нули. Дакле,

одакле непосредно следи Коши-Шварцова неједнакост.

L2[уреди | уреди извор]

За унутрашњи производ простора квадратно интеграбилних функција са комплексним вредностима важи

Уопштење овога представља Хелдерова неједнакост.

Примене[уреди | уреди извор]

Анализа[уреди | уреди извор]

Неједнакост троугла за стандардну норму често се наводи као последица Коши-Шварцове неједнакости. Наиме, ако су дати вектори и , имамо да важи:

Узимањем квадратног корена обе стране неједнакости добијамо управо неједнакост троугла:

Коши-Шварцова неједнакост се користи и да се докаже да је унутрашњи производ непрекидна функција, узимајући у обзир топологију која је индукована самим унутрашњим производом.[8][9]

Геометрија[уреди | уреди извор]

Коши-Шварцова неједнакост омогућава да се појам угла између два вектора уопшти на било који реални простор са унутрашњим производом тако што се дефинише[10][11]

Помоћу Коши-Шварцове неједнакости доказује се да је дата дефиниција добра, тако што се покаже да вредност израза са десне стране припада интервалу [−1, 1], и оправдава се тврђење да (реални) Хилбертови простори заправо представљају генерализацију еуклидског простора. Горенаведена једнакост може се користити и за дефинисање угла у комплексним просторима са унутрашњим производом, узимањем модула или реалног дела десне стране.[12][13]

Теорија вероватноће[уреди | уреди извор]

Нека су X и Y случајне променљиве. Тада за њихову коваријансу важи неједнакост:[14][15]

где означава варијансу, а коваријансу датих случајних променљивих.

Дефинисањем унутрашњег производа на скупу случајних променљивих помоћу очекивања њиховог производа:

Коши-Шварцова неједнакост постаје

Да бисмо доказали неједнакост за коваријансу помоћу Коши-Шварцове неједнакости, означимо и ; тада је

Уопштења[уреди | уреди извор]

Постоје разна уопштења Коши-Шварцове неједнакости. Хелдерова неједнакост представља њено уопштење на норме. Још општије, ова неједнакост може се интерпретирати као специјалан случај дефиниције норме линеарног оператора у Банаховом простору (конкретно, када је простор Хилбертов). Даље генерализације су у контексту теорије оператора, на пример за алгебре оператора у којима су домен и/или кодомен замењени са C*-алгебром или W*-алгебром.

Унутрашњи производ се може користити за дефинисање позитивног линеарног функционала. На пример, ако је дат Хилбертов простор , где је коначна мера, помоћу стандардног унутрашњег производа може се дефинисати позитивни функционал са . Обратно, сваки позитивни линеарни функционал на може се користити за дефинисање унутрашњег производа: , где представља тачка по тачка комплексни конјугат од . У овом случају Коши-Шварцова неједнакост постаје[16]

што се уопштава на позитивне функционале у C*-алгебрама:

Теорема (Коши-Шварцова неједнакост за позитивне функционале на C*-алгебрама):[17][18] Ако је позитивни линеарни функционал на C*-алгебри онда за све важи

.

Наредне две теореме представљају даља уопштења Коши-Шварцове неједнакости у алгебри оператора.

Теорема (Кадисон-Шварцова неједнакост,[19][20] названа по Ричарду Кадисону): Ако је унитална позитивна мапа, тада за сваки нормални елемент из њеног домена важи

и .

Одавде следи чињеница да је , уколико је линеарни функционал. Случај када је самоадјунгован, тј. се некад назива Кадисонова неједнакост.

Теорема (Модификована Шварцова неједнакост за 2-позитивне мапе):[21] Ако је 2-позитивна мапа између C*-алгебри, тада за све из њеног домена важи:

Још једно уопштење се добија интерполацијом обе стране Коши-Шварцове неједнакости:

Теорема (Неједнакост Калебаута):[22] За реалне бројеве важи:

Ово се лако доказујe коришћењем Хелдерове неједнакости.[23]

Види још[уреди | уреди извор]

Референце[уреди | уреди извор]

  1. ^ а б Steele, J. Michael (2004). The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Mathematical Association of America. стр. 1. ISBN 978-0521546775. »...there is no doubt that this is one of the most widely used and most important inequalities in all of mathematics.« 
  2. ^ Strang, Gilbert (19. 7. 2005). „3.2”. Linear Algebra and its Applications (4th изд.). Stamford, CT: Cengage Learning. стр. 154—155. ISBN 978-0030105678. 
  3. ^ Hunter, John K.; Nachtergaele, Bruno (2001). Applied Analysis. World Scientific. ISBN 981-02-4191-7. 
  4. ^ Bachmann, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (6. 12. 2012). Fourier and Wavelet Analysis. Springer Science & Business Media. стр. 14. ISBN 9781461205050. 
  5. ^ Hassani, Sadri (1999). Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations. Springer. стр. 29. ISBN 0-387-98579-4. »Equality holds iff <c|c>=0 or |c>=0. From the definition of |c>, we conclude that |a> and |b> must be proportional.« 
  6. ^ Wu, Hui-Hua; Wu, Shanhe (април 2009). „Various proofs of the Cauchy-Schwarz inequality” (PDF). Octogon Mathematical Magazine. 17 (1): 221—229. ISBN 978-973-88255-5-0. ISSN 1222-5657. Приступљено 18. 5. 2016. 
  7. ^ Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2. 5. 2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide. Springer Science & Business Media. ISBN 9783540326960. 
  8. ^ Bachman, George; Narici, Lawrence (26. 9. 2012). Functional Analysis. Courier Corporation. стр. 141. ISBN 9780486136554. 
  9. ^ Swartz, Charles (21. 2. 1994). Measure, Integration and Function Spaces. World Scientific. стр. 236. ISBN 9789814502511. 
  10. ^ Ricardo, Henry (21. 10. 2009). A Modern Introduction to Linear Algebra. CRC Press. стр. 18. ISBN 9781439894613. 
  11. ^ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (6. 6. 2014). Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics. CRC Press. стр. 181. ISBN 9781482248241. 
  12. ^ Valenza, Robert J. (6. 12. 2012). Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics. Springer Science & Business Media. стр. 146. ISBN 9781461209010. 
  13. ^ Constantin, Adrian (21. 5. 2016). Fourier Analysis with Applications. Cambridge University Press. стр. 74. ISBN 9781107044104. 
  14. ^ Mukhopadhyay, Nitis (22. 3. 2000). Probability and Statistical Inference. CRC Press. стр. 150. ISBN 9780824703790. 
  15. ^ Keener, Robert W. (8. 9. 2010). Theoretical Statistics: Topics for a Core Course. Springer Science & Business Media. стр. 71. ISBN 9780387938394. 
  16. ^ Faria, Edson de; Melo, Welington de (12. 8. 2010). Mathematical Aspects of Quantum Field Theory. Cambridge University Press. стр. 273. ISBN 9781139489805. 
  17. ^ Lin, Huaxin (1. 1. 2001). An Introduction to the Classification of Amenable C*-algebras. World Scientific. стр. 27. ISBN 9789812799883. 
  18. ^ Arveson, W. (6. 12. 2012). An Invitation to C*-Algebras. Springer Science & Business Media. стр. 28. ISBN 9781461263715. 
  19. ^ Størmer, Erling (13. 12. 2012). Positive Linear Maps of Operator Algebras. Springer Monographs in Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 9783642343698. 
  20. ^ Kadison, Richard V. (1. 1. 1952). „A Generalized Schwarz Inequality and Algebraic Invariants for Operator Algebras”. Annals of Mathematics. 56 (3): 494—503. JSTOR 1969657. doi:10.2307/1969657. 
  21. ^ Paulsen, Vern (2002). Completely Bounded Maps and Operator Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 78. Cambridge University Press. стр. 40. ISBN 9780521816694. 
  22. ^ Callebaut, D.K. (1965). „Generalization of the Cauchy–Schwarz inequality”. J. Math. Anal. Appl. 12 (3): 491—494. doi:10.1016/0022-247X(65)90016-8Слободан приступ. 
  23. ^ Callebaut's inequality. Entry in the AoPS Wiki. 

Литература[уреди | уреди извор]

Спољашње везе[уреди | уреди извор]