Криволинијски интеграл

Из Википедије, слободне енциклопедије

Криволинијски интеграл је интеграл за чију се област интеграције узима одређена крива, најчешће дефинисана у равни или простору. За разлику од обичног одређеног интеграла, за чију се област интеграљења узима одређени правоугаони сегмент простора, криволинијски интеграл омогућава израчунавање интеграла у којем домен функције представљају тачке одређене глатке (или део-по-део глатке) криве. У математици се дефинишу криволинијски интеграли прве и друге врсте. У физици криволинијски интеграли другог реда имају примјену у израчунавању рада који чини нека сила по датој кривој.

Криволинијски интеграл прве врсте[уреди]

Криволинијски интеграл прве врсте

Ако са означимо функцију чији интеграл рачунамо, а са означимо дату криву, криволинијски интеграл прве врсте се обиљежава на сљедећи начин:

.

Уколико један крај криве означимо са , а њен други крај са , криволинијски интеграл прве врсте се обиљежава још и са:

.

Дефиниција[уреди]

Нека је крива задата параметарски на интервалу :

.

Нека је на тој кривој, односно на скупу тачака које је сачињавају, дефинисана функција .

Можемо формирати подјелу интервала на дијелова, у сљедећим ознакама:

.

На сваком сегменту можемо изабрати по једно , од којих свако параметарски одређује по једну тачку , гдје је . Са ћемо означити дужину криве на сегменту . Тада имамо сљедећу ознаку:

Јасно је да ће за различите подјеле интервала горњи израз имати различите вриједности. Нас занима случај када тежи нули, тј. када је подјела интервала „бесконачно густа“. На тај начин уводимо појам криволинијског интеграла прве врсте: ако постоји неки број , такав да за свако постоји одређено тако да:

,

тај број називаћемо криволинијским интегралом прве врсте функције на кривој . Записује се као што је дато у уводу текста. Крива интеграције се назива још и луком интеграције.

Особине[уреди]

Криволинијски интеграл прве врсте дијели неке од основних особина са обичним одређеним интегралом.

  1. ,
  2. Ако је за сваку тачку домена тачно: , онда важи и: ,
  3. ,
  4. , ако се тачка налази између тачака и .

Супротно криволинијском интегралу друге врсте, код којег постоји појам оријентације, за криволинијски интеграл прве врсте важи сљедеће:

.

Рачунање[уреди]

Криволинијски интеграл прве врсте, у складу са ознакама из одјељка „Дефиниција“, израчунава се помоћу сљедеће формуле:[1]

Услови за коришћење ове формуле су да је функција непрекидна и ограничена на кривој и да је крива глатка и без сингуларних тачака. Формула важи и у случајевима када је крива дио-по-дио глатка и функција дио-по-дио непрекидна.[2]

Криволинијски интеграл друге врсте[уреди]

Криволинијски интеграл друге врсте

Дефиниција[уреди]

Нека је крива задата параметарски на интервалу :

.

Нека су на тој кривој, односно на скупу тачака које је сачињавају, дефинисане функције и .

Можемо формирати подјелу интервала на дијелова, у сљедећим ознакама:

.

На сваком сегменту можемо изабрати по једно , од којих свако параметарски одређује по једну тачку , гдје је . Са ћемо означити разлику , и аналогно и Тада имамо сљедеће ознаке:

У нареднон тексту говорићемо о , имајући на уму да важе аналогне ознаке и за и . Јасно је да ће за различите подјеле интервала горњи израз имати различите вриједности. Нас занима случај када тежи нули, тј. када је подјела интервала „бесконачно густа“. На тај начин, ако постоји неки број , такав да за свако постоји одређено тако да:

,

тај број називаћемо криволинијским интегралом друге врсте функције на кривој . Записује се на сљедећи начин:

, или само:
.

Аналогно се дефинишу интеграли и . Најчешће се посматрају збирови ових интеграла:

,

који се обично обиљежавају као:

. (1)

Ако усвојимо ознаку векторске функције , односно , тада ознаку (1) називамо (општим) криволинијским интегралом другог реда функције .

У случају да је крива затворена, тј. да је , говоримо о циркулацији и дефинисани интеграл обиљежавамо са:

,

премда ово није обавезно срести у литератури, јер се понекад сматра сувишним.[3]

Особине[уреди]

За разлику од криволинијског интеграла првог реда, код којег не постоји појам оријентације и код којег важи особина:

,

код криволинијског интеграла другог реда важи особина:

.

Ова особина настаје као посљедица дефиниције криволинијског интеграла и чињенице да је . На тај начин, није свеједно да ли интеграције вршимо у једном или другом смјеру криве, а ту особину интеграла другог реда називамо оријентабилношћу, односно оријентацијом криве.

Рачунање[уреди]

Формула за израчунавање вриједности криволинијског интеграла другог реда функције (аналогно за , у складу са ознакама у пододјељку „Дефиниција“ овог одјељка) јесте сљедећа:[4]

Формула важи уколико је функција непрекидна на кривој , а крива глатка и без сингуларних тачака. Она такође важи уколико је поменута крива дио-по-дио глатка, а функција дио-по-дио непрекидна.[5]

У случају затворене дводимензионалне криве, тј. криве смјештене у равни, и под одређеним условима, криволинијски интеграл друге врсте може се рачунати и користећи Гринову теорему.

Независност интеграције од путање[уреди]

Јасно је да ће у општем случају вриједност криволинијског интеграла другог реда зависити од облика криве интеграције , тј. њене „путање“. Понекад то, међутим, није тако и вриједност интеграла ће зависити само од почетне и крајње тачке, а бити потпуно независна од међутачака, тј. од облика криве. Наиме, важи сљедећа теорема, која има своје примјене у науци и техници:[6]

Сљедећи искази су еквивалентни:

  • За векторску функцију постоји функција , таква да је
  • Криволинијски интеграл не зависи од путање, него само од тачака и . Вриједност интеграла у том случају биће
  • Циркулација по произвољној затвореној путањи је једнака нули.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. Аднађевић и Каделбург 1998, pp. 185.
  2. Аднађевић и Каделбург 1998, pp. 186.
  3. Школа математике Универзитета у Минесоти: Векторска анализа и функције више промјенљивих, Приступљено 9. 4. 2013.
  4. Аднађевић и Каделбург 1994, pp. 189.
  5. Аднађевић и Каделбург 1994, pp. 190.
  6. Аднађевић и Каделбург 1994, pp. 193.

Литература[уреди]

  • Аднађевић, Душан; Каделбург, Зоран (1994). Математичка анализа II, друго издање. Наука, Београд. 

Спољашње везе[уреди]