Кристофелови симболи

Из Википедије, слободне енциклопедије
Паралелни транспорт на сфери

Кристофелови симболи у диференцијалној геометрији представљају коефицијенте који описују паралелни транспорт у криволинијским координатним системима. Добили су име по немачком математичару Елвину Бруну Кристофелу. Кристофелови симболи прве врсте означавају се са а симболи друге врсте са . У целом тексту користи се Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута.


Паралелни транспорт[уреди]

Слика 1.

Када у криволинијском систему одузимамо два вектора поред уобичајене разлике два вектора у правоугаоном систему имамо и додатну разлику због паралелнога транспорта једнога вектора до другога. Нека у вектор има вредност а у некој тачки вредност Ако вектор транспортујемо до он се због паралелнога транспорта у криволинијским координатама промени за Укупна разлика два вектора постаје онда:

Паралелни транспорт зависан је од Кристофелових симбола:

Ту се користи Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута.

Слика 2.

Пример у поларном систему[уреди]

Узмимо поларни координатни систем у коме се тачка налази на удаљености и под углом Нека вектор има координате , односно налази се на удаљеност од центра и из центра се види под углом . Препоставимо да се велтор премешта из једне у другу тачку. Његове компоненте се не мјењају у правоугаоном координатном систему. У поларном систему вектора остаје исте величине јер величина вектора на једном месту је:

а на другом је:

па се добија:

Паралелан транспорт дуж лука[уреди]

Током транслације дуж лука мењају се обе координате, па са слике 2 видимо да је: , , и па је:

Осим тога пошто је , , и , онда је

Означимо ли:, , и онда се из формуле, у којој је конвенција да се сумира по индексима који се појављаују два или више пута

могу добити Кристофелови симболи као: , , а сви остали су нула.

Кристофелови симболи прве и друге врсте[уреди]

Кристофелови симболи прве и друге врсте повезани су следећом релацијом:

Кристофелови симболи повезани су са метричким тензором. Ако знамо метрички тензор за неки криволинијски систем тада се Кристофелови симболи друге врсте могу потпуно представити преко одговарајућега матричкога тензора:

а ту је контраваријантни приказ метричкога тензора, а представља коваријантан приказ метричкога тензора, а повезани су изразом . Кристофелови симболи прве врсте даду се приказати као:

Кристофелови симболи су симетрични по доњим индексима;

С друге стране коваријантан извод метричкога тензора може се приказати преко Кристофелових симбола:

У неким системима[уреди]

За сферни координатни систем компоненте метричкога тензора су , , , , . па су Кристофелови симболи дани са:

За цилиндрични координатни систем симболи су:

Коваријантан извод[уреди]

Преко Кристофелових симбола приказује се коваријантан извод тензора: Коваријантни извод тензорскога поља је

тј.

За мешано тензорско поље имамо:

а за тензорско поље поље типа (0,2) коваријантан извод је:

Коваријантни извод за неки тензор типа (n, m) је:

Контракција[уреди]

Користи се Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута. Контракцијом Кристофелових симбола односно сумацијом по индексу, који се понавља добија се:

и

Ту је |g| детерминанта од , односно коваријантнога приказа метричкога тензора. С друге стране означава контраваријантни приказ метричкога тензора, а два приказа тензора повезана су изразом .

Трансформација[уреди]

При трансформацији једнога система у други , вектори базе се коваријантно трансформишу:

па се добија формула трансформације Кристофелових симбола:

Литература[уреди]