Кумерова функција

Из Википедије, слободне енциклопедије

Кумерова функција или конфлуентна хипергеометријска функција представља решење Кумерове диференцијалне једначине:

Функција је добила име по немачком математичару Ернсту Кумеру, који је 1837. први увео ту функцију.

Дефиниција[уреди]

Кумерова функција је решење Кумерове диференцијалне једначине и облика је:

где је

Друго решење Кумерове диференцијалне једначине је Трикомијева функција , која је представљена преко Кумерове функције:

Специјални случајеви[уреди]

Витакерове функције и представљају решења Витакерове диференцијалне једначине и могу се приказати преко Кумерових функција:

У случају Кумерова функција се своди на Беселову функцију:

и

Својства[уреди]

Кумерова функција може да се представи преко Лагерових полинома:

Трикомијева функција задовољава релацију:

Кумерове функције повезане су Кумеровим трансформацијама:

.

Кумерова функција повезана је релацијом:

Трикомијева функција се асимптотски понаша као општа хипергеометријска функција:

Интегрална репрезентација[уреди]

За Re b > Re a > 0, Кумерова функција M може представити помоћу интеграла:

тако да M представља карактеристичну функцију бета расподеле. За :

Могу да се представе и Барнсовим интегралима:

Литература[уреди]