Лагерови полиноми

Из Википедије, слободне енциклопедије

Лагерови полиноми представљају решења Лагерове диференцијалне једначине:

Придружени Лагерови полиноми представљају решења од:

По први пут дефинисао их је француски математичар Едмон Лагер. Користе се и у квантној механици као решења радијалнога дела Шредингерове једначине једноелектронскога атома.

Првих шест Лагерових полинома

Родригезова формула и полиноми[уреди]

Лагерови полиноми обично се означавају као L0L1, ..., а полиномни низ може да се дефинише Родригезовом формулом:

Првих неколико полинома:

n
0
1
2
3
4
5
6

Генерирајућа функција Лагерових полинома је:

.

Рекурзивне релације[уреди]

Едмон Лагер

Лагерови полиноми могу да се дефинишу рекурзивно уз помоћ прва два полинома која су:

а рекурзивна релација је:

Рекурзивна релација за изводе је:

Генерализирани Лагерови полиноми[уреди]

Генерализирани Лагерови полиноми или придружени Лагерови полиноми представљају решења диференцијалне једаначине:

Родригезова формула за генерализиране полиноме је:

Веза обичних и генерализираних Лагерових полинома је:

.

Обични Лагерови полиноми еквивалентни су генерализиранима полиномима ако је α = 0:

Неколико првих генерализираних Легерових полинома:

Ортогоналност[уреди]

Придружени Лагерови полиноми ортогонални су у односу на тежинску функцију :

Веза са Ермитовим полиномима[уреди]

Генерализирани лагерови полиноми повезани су са Ермитовим полиномима следећим релацијама:

и

где су Ермитови полиноми.

Литература[уреди]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720