Лагранж-Даламберов принцип

Traité de dynamique Жана ле Рон Даламбера, 1743. У њему је француски научник формулисао принцип количине кретања, познат и као „Даламберов принцип”.

Жан Даламбер (1717–1783)

Даламберов принцип (енгл. D'Alembert's principle), такође познат као Лагранж-Даламберов принцип, представља исказ фундаменталних класичних закона кретања. Назван је по свом проналазачу, француском физичару и математичару Жану ле Рон Даламберу, и италијанско-француском математичару Жозефу Лују Лагранжу. Даламберов принцип генерализује принцип виртуелног рада из статике на динамичке системе увођењем сила инерције које, када се додају примењеним силама у систему, резултирају динамичком равнотежом.

Даламберов принцип се може применити у случајевима кинематичких веза које зависе од брзина. Принцип се не примењује на иреверзибилна померања, као што је клизно трење, па је потребна општија спецификација иреверзибилности.

Исказ принципа

Принцип наводи да је збир разлика између сила које делују на систем масивних честица и временских извода импулса самог система пројектованих на било које виртуелно померање у складу са везама система једнак нули. Дакле, у математичкој нотацији, Даламберов принцип се записује на следећи начин:

$$\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0,$$

где је:

• $i$ цео број који се користи за означавање (путем индекса) променљиве која одговара одређеној честици у систему,
• $\mathbf {F} _{i}$ укупна примењена сила (искључујући силе везе) на $i$-ту честицу,
• $m_{i}$ маса $i$-те честице,
• $\mathbf {v} _{i}$ брзина $i$-те честице,
• $\delta \mathbf {r} _{i}$ виртуелно померање $i$-те честице, у складу са везама.

Њутнова нотација (тачка изнад симбола) користи се за представљање извода по времену. Горња једначина се често назива Даламберов принцип, али је први пут записана у овој варијационој форми од стране Жозефа Луја Лагранжа. Даламберов допринос био је да покаже да у укупности динамичког система силе везе нестају. То значи да генералисане силе $\mathbf {Q} _{j}$ не морају укључивати силе везе. Ово је еквивалентно нешто гломазнијем Гаусовом принципу најмањег ограничења.

Извођења

Општи случај са променљивом масом

Општи исказ Даламберовог принципа помиње „временске изводе импулса система”. Према Другом Њутновом закону, први временски извод импулса је сила. Импулс $i$-те масе је производ њене масе и брзине: $$\mathbf {p} _{i}=m_{i}\mathbf {v} _{i}$$ а његов временски извод је: $${\dot {\mathbf {p} }}_{i}={\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}+m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}.$$

У многим применама, масе су константне и ова једначина се своди на: $${\dot {\mathbf {p} }}_{i}=m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}=m_{i}\mathbf {a} _{i}.$$

Међутим, неке примене укључују променљиве масе (на пример, ланци који се намотавају или одмотавају) и у тим случајевима оба члана, ${\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}$ и $m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}$, морају остати присутна, што даје: $$\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.$$ Ако се променљива маса избацује брзином $\mathbf {w} _{i}$, принцип има додатни члан: $$\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i}-{\dot {m}}_{i}(\mathbf {v} _{i}-\mathbf {w} _{i}))\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.$$

Посебан случај са константном масом

Размотримо Њутнов закон за систем честица константне масе, $i$. Укупна сила на сваку честицу је: $$\mathbf {F} _{i}^{(T)}=m_{i}\mathbf {a} _{i},$$ где су:

• $\mathbf {F} _{i}^{(T)}$ укупне силе које делују на честице система,
• $m_{i}\mathbf {a} _{i}$ инерцијалне силе које произилазе из укупних сила.

Премештањем инерцијалних сила на леву страну добија се израз који се може сматрати да представља квази-статичку равнотежу, али који је заправо само мала алгебарска манипулација Њутновог закона: $$\mathbf {F} _{i}^{(T)}-m_{i}\mathbf {a} _{i}=\mathbf {0} .$$

Разматрање виртуелног рада, $\delta W$, који врше укупне и инерцијалне силе заједно кроз произвољно виртуелно померање, $\delta \mathbf {r} _{i}$, система, доводи до идентитета једнаког нули, пошто се укључене силе сабирају у нулу за сваку честицу.

$$\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\sum _{i}m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$$

Оригинална векторска једначина се може повратити препознавањем да израз за рад мора важити за произвољна померања. Раздвајањем укупних сила на примењене силе, $\mathbf {F} _{i}$, и силе везе, $\mathbf {C} _{i}$, добија се: $$\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\sum _{i}m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.$$

Ако се претпостави да су произвољна виртуелна померања у правцима који су ортогонални на силе везе (што обично није случај, па ово извођење важи само за посебне случајеве), силе везе не врше никакав рад, ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$. За таква померања се каже да су у складу са везама. Ово доводи до формулације Даламберовог принципа, који наводи да разлика примењених сила и инерцијалних сила за динамички систем не врши виртуелни рад: $$\delta W=\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.$$

Такође постоји одговарајући принцип за статичке системе који се назива принцип виртуелног рада за примењене силе.

Даламберов принцип инерцијалних сила

Даламбер је показао да се убрзавајуће круто тело може трансформисати у еквивалентан статички систем додавањем „инерцијалне силе” и „инерцијалног момента”. Инерцијална сила мора деловати кроз центар масе, а инерцијални момент може деловати било где. Систем се тада може анализирати тачно као статички систем подвргнут овој „инерцијалној сили и моменту” и спољашњим силама. Предност је у томе што се у еквивалентном статичком систему моменти могу узимати око било које тачке (не само центра масе). Ово често доводи до једноставнијих прорачуна јер се било која сила (заузврат) може елиминисати из једначина момента одабиром одговарајуће тачке око које се примењује једначина момента (збир момената = нула). Чак и у курсевима Основа динамике и кинематике машина, овај принцип помаже у анализи сила које делују на карику механизма када је у кретању. У уџбеницима инжењерске динамике, ово се понекад назива Даламберов принцип.

Неки едукатори упозоравају да покушаји коришћења Даламберове инерцијалне механике наводе студенте да праве честе грешке у знаку. Потенцијални узрок ових грешака је знак инерцијалних сила. Инерцијалне силе се могу користити за описивање привидне силе у неинерцијалном систему референције који има убрзање $\mathbf {a}$ у односу на инерцијални систем референције. У таквом неинерцијалном систему референције, маса која мирује и има нулто убрзање у инерцијалном референтном систему, јер на њу не делују силе, и даље ће имати убрзање $-\mathbf {a}$, а привидна инерцијална, или псеудо или фиктивна сила $-m\mathbf {a}$ ће изгледати као да делује на њу: у овој ситуацији инерцијална сила има знак минус.

Динамичка равнотежа

Даламберов облик принципа виртуелног рада наводи да је систем крутих тела у динамичкој равнотежи када је виртуелни рад збира примењених сила и инерцијалних сила једнак нули за било које виртуелно померање система. Дакле, динамичка равнотежа система од $n$ крутих тела са $m$ генералисаних координата захтева: $$\delta W=\left(Q_{1}+Q_{1}^{*}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}^{*}\right)\delta q_{m}=0,$$ за било који скуп виртуелних померања $\delta q_{j}$, где је $Q_{j}$ генералисана примењена сила, а $Q_{j}^{*}$ генералисана инерцијална сила. Овај услов даје $m$ једначина: $$Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,$$ које се такође могу записати као: $${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.$$ Резултат је скуп од m једначина кретања које дефинишу динамику система крутих тела.

Формулација коришћењем Лагранжијана

Даламберов принцип се може поново написати у терминима Лагранжијана $L=T-V$ система као генералисана верзија Хамилтоновог принципа за случај тачкастих честица, на следећи начин: $$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0,$$ где је:

• $\mathbf {r} =(\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{N})$
• $\mathbf {F} _{i}$ су примењене силе
• $\delta \mathbf {r} _{i}$ је виртуелно померање $i$-те честице, у складу са везама $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$
• критична крива задовољава везе $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0$

Са Лагранжијаном: $$L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2},$$ претходни исказ Даламберовог принципа се поново добија.

Генерализација за термодинамику

Проширење Даламберовог принципа може се користити у термодинамици. На пример, за адијабатски затворен термодинамички систем описан Лагранжијаном који зависи од једне ентропије S и са константним масама $m_{i}$, као што је: $$L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},S,t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2}-V(\mathbf {r} ,S),$$ записује се на следећи начин: $$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},S,t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0,$$ где се претходне везе ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$ и ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0}$ генерализују тако да укључују ентропију као:

• $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+T\delta S=0$
• $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}+T{\dot {S}}=0.$

Овде је $T=\partial V/\partial S$ температура система, $\mathbf {F} _{i}$ су спољашње силе, $\mathbf {C} _{i}$ су унутрашње дисипативне силе. Резултат су једначине механичког и топлотног баланса: $$m_{i}\mathbf {a} _{i}=-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} _{i}}}+\mathbf {C} _{i}+\mathbf {F} _{i},\;\;i=1,...,N\qquad \qquad T{\dot {S}}=-\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}.$$ Типичне примене принципа укључују термо-механичке системе, мембрански транспорт и хемијске реакције.

За $\delta S={\dot {S}}=0$ поново се добијају класични Даламберов принцип и једначине.

Види још

• Принцип виртуелног рада
• Лагранжева механика
• Хамилтонов принцип

Литература

• Lanczos, Cornelius (1964). Variational principles of mechanics [Варијациони принципи механике]. Toronto: University of Toronto Press. 
• d'Alembert, Jean le Rond (1743). Traité de dynamique [Расправа о динамици]. 
• Torby, Bruce (1984). Advanced Dynamics for Engineers [Напредна динамика за инжењере]. CBS College Publishing. ISBN 978-0-03-063366-9.