Лијева група

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици, Лијева група је група која је истовремено и глатка многострукост, при чему су операције групе глатке функције елемената групе. Лијеве групе су важне у математичкој анализи, физици и геометрији јер се помоћу њих описују симетрије разних структура.

Лијеве групе се данас користе у свим областима савремене математике, као и у великом делу теоријске физике. Оне омогућавају изучавање „непрекидних симетрија“, дакле симетрија које на другим математичким објектима дејствују непрекидно. Теорију ових група засновао је 1870. норвешки математичар Софус Ли како би формализовао идеју „инфинитезималне трансформације“, коју је желео да примени на диференцијалне једначине и њихове симетрије. Од 1920-их година Лијеве групе су постале делом матичног тока математике, а њиховим изучавањем најнепосредније се бави теорија репрезентација.

Једноставни примери[уреди]

Реалне инверзибилне 2 × 2 матрице

\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}, ad-bc\neq 0

чине групу у односу на множење матрица, познату као пуна линеарна група GL2R. Ако скуп ових матрица на очигледан начин посматрамо уложене као подскуп од R4, оне чине отворен подскуп, који од R4 наслеђује топологију и диференцијалну структуру глатке 4-многострукости. Притом су множење матрица и операција налажења инверзне матрице рационалне, па дакле и глатке функције аргумената, те је GL2R Лијева група. Група GL2R није повезана; компонента повезаности јединичне матрице јесте група GL2+R матрица позитивне детерминанте, која је и сама Лијева група.

2 × 2 матрице ротација чине подгрупу од GL2R, коју означавамо са SO2R. Ово је једнодимензиона, компактна многострукост дифеоморфна са кругом S1, јер сваком углу φ од 0 до 2π одговара (глатко) матрица ротације

\begin{bmatrix}\cos\phi&-\sin\phi\\\sin\phi&\cos\phi\\\end{bmatrix}.

SO2R је Лијева група јер су операције множења и инверза глатке (у већој групи GL2R, па дакле и овде). У случају групе SO2R то можемо видети и директно тако што се операција групе подудара са уобичајеном операцијом сабирања на S1 ≅ R / 2πZ – производ матрица ротације које одговарају угловима φ и ψ је матрица ротације која одговара углу φ + ψ.

Дефиниције[уреди]

Лијева група (у основном значењу: реална Лијева група) јесте група на којој је задата и диференцијабилна структура која је чини коначно-димензионалном реалном глатком многострукошћу, при чему су групне операције множења и инверзног елемента глатка пресликавања.

Постоји неколико сродних појмова. Комплексна Лијева група, попут SL2C се дефинише на исти начин користећи комплексне многострукости, и слично за p-адске Лијеве групе над пољем p-адских бројева. Бесконачно-димензиона Лијева група јесте група са компатибилном диференцијабилном структуром бесконачно-димензионе глатке многострукости. Групе матрица, попут ортогоналне и симплектичке групе, и алгебарске групе дају најчешће примере Лијевих група.

Аналогне структуре многих Лијевих група се могу дефинисати и над коначним пољима, у ком случају говоримо о групама Лијевог типа, које дају велики број типова коначних простих група.

Глисон, Монтгомери и Зипин су 1950-их година показали да за сваку (тополошку) многострукост G са непрекидним операцијама групе постоји тачно једна аналитичка структура на G која је претвара у Лијеву групу (види Хилбертов пети проблем).

Језиком теорије категорија, Лијева група је групни објекат у категорији глатких многострукости.

Примери Лијевих група[уреди]