Лукас број

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу
Не треба мешати са Лукас редовима, генеричке класе редова којима припадају Лукас бројеви.

Лукас бројеви или Лукас редови су цели бројеви редова названи по математичару Франкуису Едуарду Анатолу Лукасу (1842–91), који је проучавао оба та реда и блиско повезане Фибоначијеве бројеве. Лукас бројеви и Фибоначијеви бројеви формирају комплементарне случајеве Лукас редова.

Дефиниција[уреди]

Слично Фибоначијевим бројевима, сваки Лукас број је дефинисан збиром своја два непосредно претходна члана, чиме се формира Фибоначијев целобројни ред. Прва два Лукас броја су Л0 = 2 и Л1 = 1 за разлику од прва два Фибоначијева број Ф0 = 0 и Ф1 = 1. Иако уско повезани у дефиницији, Лукас и Фибоначијеви бројеви показују различите особине.

Лукас бројеви могу бити дефинисани на следећи начин:

Ред Лукас бројева је:

(sequence A000032 in OEIS)OEIS).
Сви цели бројеви слични Фибоначијевом реду се појављују у облику померања као ред Вајтоф низа;Фибоначијев сам ред је први ред и Лукас ред је други ред. Такође, као сви цели бројеви слични Фибоначијевом реду, однос између два узастопна Лукас броја конвергира од златног пресека.

Проширење до негативних целих бројева[уреди]

Користећи Лн−2 = Лн − Лн−1, можемо проширити Лукас бројеве до негативних целих бројева да добијемо двоструки бесконачни низ: ..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... чланови за  су показани). Формула за чланове са негативним индексом у овом низу је

Повезаност са Фибоначијевим бројевима[уреди]

Лукас бројеви су повезани са Фибоначијевим бројевима идентитетима

  • , и како се  приближава +∞, однос  се приближава 

Њихова затворена формула је дата као:

где је  такође златни пресек. Алтернативно, како је за  величина чланова мања од 1/2, је најближи цео број броју  или, еквивалентно, целобројни део , пише се и као .

Насупрот томе, како Бинетова формула даје:

имамо:

Односи подударности[уреди]

Ако је Фn ≥ 5 Фибоначијев број онда ниједан Лукас број није дељив  Фн.

Лn је у складу за 1 мод n ако је n прост број, али неке композитне вредности n-а такође имају ову особину.

Лукас прости бројеви[уреди]

Лукас прост број је Лукас број који је прост. Првих неколико Лукас простих бројева су -ом

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... (sequence A005479 in OEIS).

За ове нс су

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ... (sequence A001606 in OEIS).

Ако је Лн прост број онда је n или 0, прост, или степен 2.[1] Л2м је прост број за м = 1, 2, 3, и 4 и нема више познатих вредности за м.

Лукас полиноми[уреди]

На исти начин на који су Фибоначијеви полиноми изведени из Фибоначијевих бројева, Лукас полиноми Лн(x) су полиноми реда изведени из Лукас бројева.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ Chris Caldwell, "The Prime Glossary: Lucas prime" from The Prime Pages.

Спољашње везе[уреди]