Матрица ротације

Из Википедије, слободне енциклопедије

Матрица ротације у линеарној алгебри представља матрицу ротација у Еуклидовом простору. Нпр. матрица ротације за угао θ око исходишта у xy-картезијевом простору супротно кретању казаљке на сату дата је са:

R = 
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}

Матрице ротације су ортогоналне матрице са детерминантом једнаком јединици.

R^{T} = R^{-1}, \det R = 1\,.

Скуп таквих матрица димензије n чини специјалну ортогоналну групу, познату као SO(n).

Ротација у дводимензионалном простору[уреди]

У дводимензионалном простору вектор нових координата насталих ротацијом одговара множењу матрице ротације и вектора координата:

Counterclockwise rotation.png

\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}.

На тај начин ротацијом добијају се нове координате (x',y') ротацијом тачке (x, y):

x' = x \cos \theta - y \sin \theta\,,
y' = x \sin \theta + y \cos \theta\,.

Ротација у тродимензионалном простору[уреди]

Три основне ротације око оси x, y и z дане су са:


\begin{alignat}{1}
R_x(\theta) &= \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \theta & -\sin \theta \\[3pt]
0 & \sin \theta  & \cos \theta \\[3pt]
\end{bmatrix} \\[6pt]
R_y(\theta) &= \begin{bmatrix}
\cos \theta & 0 & \sin \theta \\[3pt]
0 & 1 & 0 \\[3pt]
-\sin \theta & 0 & \cos \theta \\
\end{bmatrix} \\[6pt]
R_z(\theta) &= \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\[3pt]
\sin \theta & \cos \theta & 0\\[3pt]
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}.
\end{alignat}

Опште ротације за Ојлерове углове[уреди]

Општа матрица ротације у тродимензионалном простору може да се добије множењем матрица ротације за три Ојлерова угла α, β и γ (y-x-z конвенција за Ојлерове углове):

R_z(\gamma) \, R_x(\beta) \, R_y(\alpha)\,\!

У случају ротације за углове \;\gamma, \;\beta, \;\alpha око оси Z, X, Z (Z, X, Z конвенција) добија се:

M(\alpha,\beta,\gamma) = M_z(\alpha) \cdot M_x(\beta) \cdot M_z(\gamma)
 = \begin{pmatrix} 
    \cos \alpha \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma
&  -\cos \alpha \sin \gamma - \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma
&   \sin \alpha \sin \beta \\
    \sin \alpha \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma
&  -\sin \alpha \sin \gamma + \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma
&  -\cos \alpha \sin \beta \\
   \sin \beta \sin \gamma
&   \sin \beta \cos \gamma
&   \cos \beta
\end{pmatrix}

Лијева теорија[уреди]

Скуп матрица ротације димензије n чини Лијеву групу звану специјална ортогонална група, познату као SO(n). Са сваком Лијевом групом повезана је Лијева алгебра, тако да у овом случају имамо Лијеву алгебру:

 \mathfrak{so}(n) , \,\!

Лијева алгебра у тродимензионалном простору : \mathfrak{so}(3) , \,\! има три генератора:


 A_{\bold{x}} = \begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix} , \quad
 A_{\bold{y}} = \begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix} , \quad
 A_{\bold{z}} = \begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} .

Лијеве заграде тих оператора задовољавају следеће релације:


 [A_{\bold{x}}, A_{\bold{y}}] = A_{\bold{z}}, \quad
 [A_{\bold{z}}, A_{\bold{x}}] = A_{\bold{y}}, \quad
 [A_{\bold{y}}, A_{\bold{z}}] = A_{\bold{x}}.

Произвољна матрица у Лијевој алгебри може да се опише помоћу три генератора као:

\begin{align}
 \tilde{\boldsymbol{\omega}} &{}= x A_{\bold{x}} + y A_{\bold{y}} + z A_{\bold{z}} \\
                             &{}= \begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix} .
\end{align}

Литература[уреди]