Матрица ротације

Из Википедије, слободне енциклопедије

Матрица ротације у линеарној алгебри представља матрицу ротација у Еуклидовом простору. Нпр. матрица ротације за угао θ око исходишта у xy-картезијевом простору супротно кретању казаљке на сату дата је са:

Матрице ротације су ортогоналне матрице са детерминантом једнаком јединици.

.

Скуп таквих матрица димензије n чини специјалну ортогоналну групу, познату као SO(n).

Ротација у дводимензионалном простору[уреди]

У дводимензионалном простору вектор нових координата насталих ротацијом одговара множењу матрице ротације и вектора координата:

Counterclockwise rotation.png
.

На тај начин ротацијом добијају се нове координате (x',y') ротацијом тачке (x, y):

,
.

Ротација у тродимензионалном простору[уреди]

Три основне ротације око оси x, y и z дане су са:

Опште ротације за Ојлерове углове[уреди]

Општа матрица ротације у тродимензионалном простору може да се добије множењем матрица ротације за три Ојлерова угла α, β и γ (y-x-z конвенција за Ојлерове углове):

У случају ротације за углове , , око оси Z, X, Z (Z, X, Z конвенција) добија се:

Лијева теорија[уреди]

Скуп матрица ротације димензије n чини Лијеву групу звану специјална ортогонална група, познату као SO(n). Са сваком Лијевом групом повезана је Лијева алгебра, тако да у овом случају имамо Лијеву алгебру:

Лијева алгебра у тродимензионалном простору : има три генератора:

Лијеве заграде тих оператора задовољавају следеће релације:

Произвољна матрица у Лијевој алгебри може да се опише помоћу три генератора као:

Литература[уреди]