Матрица (математика)

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици, матрица је правоугаона табела бројева, или општије, табела која се састоји од апстрактних објеката који се могу сабирати и множити.

Матрице се користе да опишу линеарне једначине, да се прате коефицијенти линеарних трансформација, као и за чување података који зависе од два параметра. Матрице се могу сабирати, множити, и разлагати на разне начине, што их чини кључним концептом у линеарној алгебри и теорији матрица.

Основни елементи матрице

Дефиниције и нотације[уреди]

Хоризонталне линије у матрици се називају врстама, а вертикалне колонама матрице. Матрица са m врста и n колона се назива m-са-n матрицом (каже се и записује да је формата m×n) а m и n су димензије матрице.

Члан матрице A, који се налази у i-тој врсти и у j-тој колони се назива (i,j)-ти члан матрице A. Ово се записује као Ai,j или A[i,j]. Увек се прво назначује врста, па колона.

Често се пише A:=(a_{i,j})_{m \times n} како би се дефинисала m × n матрица A чији се сваки члан, A[i,j] назива ai,j за све 1 ≤ im и 1 ≤ jn. Међутим, конвенција да i и j почињу од 1 није универзална: неки програмски језици започињу од нуле, у ком случају имамо 0 ≤ im − 1 и 0 ≤ jn − 1.

Матрицу чија је једна од димензија једнака јединици често називамо вектором, и интерпретирамо је као елемент реалног координатног простора. 1 × n матрица (једна врста и n колона) се назива вектор врста, а m × 1 матрица (једна колона и m врста) се назива вектор колона.

Пример[уреди]

Матрица

A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 7 \\
4&9&2 \\
6&0&5\end{bmatrix}

је 4×3 матрица. Елемент A[2,3] или a2,3 је 7.

Матрица

 R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}

је 1×9 матрица, или вектор врста са 9 елемената.

Сабирање и множење матрица[уреди]

Сабирање[уреди]

Ако су дате матрице A и B, димензија m-са-n, њихов збир A + B је m-са-n матрица, израчуната сабирањем одговарајућих елемената (т. ј. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). На пример:


  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    8 & 5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{bmatrix}

Множење скаларом[уреди]

Ако узмемо матрицу A и број c, скаларни производ cA се рачуна множењем скаларом c сваког елемента A (т. ј. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). На пример:

2
  \begin{bmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2\cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot (-3) \\
    2\cdot 4 & 2\cdot (-2) & 2\cdot 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2 & 16 & -6 \\
    8 & -4 & 10
  \end{bmatrix}

Операције сабирања и множења скаларом претварају скуп M(m, n, R) свих m-са-n матрица са реалним члановима у реални векторски простор димензије mn.

Међусобно множење матрица[уреди]

Множење две матрице је добро дефинисано само ако је број колона леве матрице једнак броју врста десне матрице. Ако је A матрица димензија m-са-n, а B је матрица димензија n-са-p, тада је њихов производ AB матрица димензија m-са-p (m врста, p колона) дат формулом:

\,\!
    (AB)[i,j] = A[i,1]  B[1,j] + A[i,2]  B[2,j] + ... + A[i,n]  B[n,j]

за сваки пар i и j.

На пример:


    \begin{bmatrix}
        1 & 0 & 2 \\
       -1 & 3 & 1 \\
    \end{bmatrix}
\cdot
    \begin{bmatrix}
        3 & 1 \\
        2 & 1 \\
        1 & 0 \\
    \end{bmatrix}
=
    \begin{bmatrix}

        (1 \cdot 3  +  0 \cdot 2  +  2 \cdot 1)
      & (1 \cdot 1  +  0 \cdot 1  +  2 \cdot 0) \\

        ((-1) \cdot 3  +  3 \cdot 2  +  1 \cdot 1)
      & ((-1) \cdot 1  +  3 \cdot 1  +  1 \cdot 0) \\

    \end{bmatrix}

=
    \begin{bmatrix}
        5 & 1 \\
        4 & 2 \\
    \end{bmatrix}

Множење матрица има следећа својства:

  • (AB)C = A(BC) за све k-са-m матрице A, m-са-n матрице B и n-са-p матрице C (асоцијативност).
  • (A + B)C = AC + BC за све m-са-n матрице A и B и n-са-k матрице C (десна дистрибутивност).
  • C(A + B) = CA + CB за све m-са-n матрице A и B и k-са-m матрице C (лева дистрибутивност).

Ваља знати да комутативност не важи у општем случају; ако су дате матрице A и B, чак и ако су оба производа дефинисана, у општем случају је ABBA.

Посебно, скуп M(n, R) свих квадратних матрица реда n јесте реална асоцијативна алгебра са јединицом, која је некомутативна за n ≥ 2.

Линеарне трансформације, ранг, транспонована матрица[уреди]

Матрице могу на згодан начин да представе линеарне трансформације јер множење матрица одговара слагању пресликавања, као што ће даље бити описано. Управо ово својство матрице чини моћном структуром података у вишим програмским језицима.

Овде и у наставку, посматрамо Rn као скуп колона или n-са-1 матрица. За свако линеарно пресликавање f : RnRm постоји јединствена m-са-n матрица A, таква да f(x) = Ax за свако x у Rn. Кажемо да матрица A представља линеарно пресликавање f. Ако k-са-m матрица B представља друго линеарно пресликавање g : RmRk, тада је њихова композиција g o f такође линеарно пресликавање RmRn, и представљено је управо матрицом BA. Ово следи из горе поменуте асоцијативности множења матрица.

Општије, линеарно пресликавање из n-димензионог векторског простора у m-димензиони векторски простор је представљено m-са-n матрицом, ако су изабране базе за сваки.

Ранг матрице A је димензија слике линеарног пресликавања представљеног са A; она је иста као димензија простора генерисаног врстама A, и такође је исте димензије као простор генерисан колонама A.

Транспонована матрица, матрице m-са-n, A је n-са-m матрица Atr (некад се записује и као AT или tA), која настаје претварањем врста у колоне, и колона у врсте, то јест Atr[i, j] = A[j, i] за свако i и j. Ако A представља линеарно пресликавање у односу на две базе, тада матрица Atr представља линеарно пресликавање у односу на дуалне базе (види дуални простор).

Важи (A + B)tr = Atr + Btr и (AB)tr = Btr Atr.

Види још[уреди]

Особине матрица[уреди]

Посебне матрице[уреди]

Литература[уреди]

  • Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0070026556.

Спољашње везе[уреди]

Викиостава
Викимедијина остава има још мултимедијалних датотека везаних за: Матрица (математика)