Множење

Из Википедије, слободне енциклопедије
3 · 4 = 12, па 12 куглица може бити сложено као 3 врсте по 4 (или 4 колоне по 3) куглице

Множење је бинарна операција у математици. Записује се као a · b или a × b. Операнди a и b се називају чиниоци (фактори), а резултат множења производ.

Ако је један операнд природан број, онда множење представља скраћени запис сабирања. Нпр, ако је n ∈ ℕ, онда је

a \cdot n = \underbrace{a + \cdots + a}_n.

У алгебри се ознака за множење подразумева и може се прескочити, па се 3 · a · b може записати и као 3 a b

Инверзна операција множењу је дељење.

Множење бројева[уреди]

Особине[уреди]

Множење има приоритет над сабирањем. Множење бројева има следеће особине (за множење других објеката погледати ниже у тексту):

1. a \cdot 1 = 1 \cdot a = a (неутрал)
2. a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 (сваки број помножен нулом једнак је нули)
3. (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) (асоцијативност)
4. a \cdot b = b \cdot a комутативност
5. a \cdot (b +c) = a \cdot b + a \cdot c дистрибутивност множења према сабирању

5. На скупу рационалних, реалних и комплексних бројева, сваки број осим нуле има тачно један инверзан број, такав да је њихов производ јединица:

\forall a \  \exists_1 b: a \cdot b = 1

Инверзан број броја a се записује као \tfrac{1}{a}. Инверзан број инверзног броја је полазни број:

\frac{1}{\frac{1}{a}} = a

Множење целих бројева[уреди]

Приликом множења целих бројева, ако су оба истог знака (оба позитивна или негативна), резултат је позитиван. Производ позитивног и негативног броја је негативан.

Рационални чиниоци[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак Рационалан број

Производ рационалних бројева је рационалан број коме је бројилац производ бројилаца чинилаца, а именилац производ именилаца чинилаца:

a = \frac{p_1}{q_1} \land b = \frac{p_2}{q_2} \Rightarrow a \cdot b = \frac{p_1 \cdot p_2}{q_1 \cdot q_2}

Ирационални чиниоци[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак Реални бројеви

Нека је b ∈ ℝ \ ℚ ирационалан број, тада је производ a · b гранична вредност

a \cdot b = \lim_{\frac{p}{q} \rightarrow b} a \cdot \frac{p}{q}

где је \tfrac{p}{q} рационалан број и представља приближну вредност броја b.

Множење комплексних бројева[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак Комплексни бројеви

Сваки комплексан број z можемо записати као уређени пар или у тригонометријском (поларном) запису:

z = (a, b) = \rho (\cos \phi + i \sin \phi).

Како је i^2 = -1, формула за множење у алгебарском запису гласи

(a_1, b_1) \cdot (a_2, b_2) = (a_1 a_2 - b_1 b_2, a_1 b_2 + a_2 b_1).

Из тригонометријских једначина следи формула за множење комплексних бројева у тригонометријском облику:

\rho_1 (\cos \phi_1 + i \sin \phi_1) \cdot \rho_2 (\cos \phi_2 + i \sin \phi_2) = \rho_1 \rho_2 (\cos \left(\phi_1 + \phi_2\right) + i \sin \left(\phi_1 + \phi_2\right))

Множење вектора[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак Вектор

Постоји неколико врста множења вектора: множење вектора скаларом, скаларни, векторски и мешовити производ вектора. Скаларни производ вектора се обележава са „·“, а векторски са „×“.

Посматрајмо вектор у тродимензионалном Еуклидском простору: \mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z) \in \mathbb{R}^3.

Множење вектора скаларом[уреди]

Вектор се множи скаларом тако што се свака његова координата помножи скаларом. Ова операција је комутативна.

k \in \mathbb{R}, \mathbf{a} \in \mathbb{R}^3 \Rightarrow k \mathbf{a} = (k a_x, k a_y, k a_z)

Скаларни производ[уреди]

Скаларни производ вектора је скалар једнак суми производа одговарајућих координата:

\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3
\cdot: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z

Скаларни производ је комутативан.

Векторски производ[уреди]

Векторски производ.

Векторски производ вектора је нови вектор, чији је интензитет једнак површини паралограма који вектори-чиниоци заклапају, правац му је нормалан на раван коју вектори-чиниоци дефинишу, а смер се дефинише правилом леве или десне руке, зависно од конвенције. Овај производ је специфичан за \mathbb{R}^3, и антикомутативан је. Векторски производ се рачуна као детерминанта матрице:

\times: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3
\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z 
\end{vmatrix}

где су \mathbf{i}, \mathbf{j} и \mathbf{k} ортови дуж x, y и z осе, респективно.

Мешовити производ[уреди]

Запремина паралелепипеда који дефинишу 3 вектора једнака је њиховом мешовитом производу.

Мешовити производ три вектора је скалар који је једнак запремини паралелопипеда који ти вектори заклапају. Записује се као [a, b, c] и по дефиницији је:

[]: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}
\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^3
[\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] = 
\begin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
c_x & c_y & c_z \\
\end{vmatrix}

Множење матрица[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак Матрица (математика)

Нека су дате матрице А и B величине mА×nА и mB×nB, респективно. Производ AB је дефинисан ако је nА = mB, а добијена матрица има димензије mА×nB. Елементи матрице-производа су

(AB)_{i, j} = \sum_{k=1}^{n_A} A_{i, k} B_{k, j}

Множење матрица није комутативно. Матрице 1×3 и 3×2 можемо помножити само на један начин, а 5×4 и 4×5 са обе стране, али производи неће имати исту величину (5×5 на један и 4×4 на други начин). Ако се помноже две квадратне матрице исте величине, производи су такође исте величине, и може се дефинисати комутатор:

[A, B] = A \times B - B \times A

Види још[уреди]

Спољашње везе[уреди]

Викиостава
Викимедијина остава има још мултимедијалних датотека везаних за: Множење