Множење

Из Википедије, слободне енциклопедије
3 · 4 = 12, па 12 куглица може бити сложено као 3 врсте по 4 (или 4 колоне по 3) куглице

Множење је бинарна операција у математици. Записује се као a · b или a × b. Операнди a и b се називају чиниоци (фактори), а резултат множења производ.

Ако је један операнд природан број, онда множење представља скраћени запис сабирања. Нпр, ако је n ∈ ℕ, онда је

У алгебри се ознака за множење подразумева и може се прескочити, па се 3 · a · b може записати и као 3 a b

Инверзна операција множењу је дељење.

Множење бројева[уреди]

Особине[уреди]

Множење има приоритет над сабирањем. Множење бројева има следеће особине (за множење других објеката погледати ниже у тексту):

1. (неутрал)
2. (сваки број помножен нулом једнак је нули)
3. (асоцијативност)
4. комутативност
5. дистрибутивност множења према сабирању

5. На скупу рационалних, реалних и комплексних бројева, сваки број осим нуле има тачно један инверзан број, такав да је њихов производ јединица:

Инверзан број броја се записује као . Инверзан број инверзног броја је полазни број:

Множење целих бројева[уреди]

Приликом множења целих бројева, ако су оба истог знака (оба позитивна или негативна), резултат је позитиван. Производ позитивног и негативног броја је негативан.

Рационални чиниоци[уреди]

За више информација погледајте: Рационалан број

Производ рационалних бројева је рационалан број коме је бројилац производ бројилаца чинилаца, а именилац производ именилаца чинилаца:

Ирационални чиниоци[уреди]

За више информација погледајте: Реални бројеви

Нека је b ∈ ℝ \ ℚ ирационалан број, тада је производ a · b гранична вредност

где је рационалан број и представља приближну вредност броја b.

Множење комплексних бројева[уреди]

За више информација погледајте: Комплексни бројеви

Сваки комплексан број z можемо записати као уређени пар или у тригонометријском (поларном) запису:

.

Како је , формула за множење у алгебарском запису гласи

.

Из тригонометријских једначина следи формула за множење комплексних бројева у тригонометријском облику:

Множење вектора[уреди]

За више информација погледајте: Вектор

Постоји неколико врста множења вектора: множење вектора скаларом, скаларни, векторски и мешовити производ вектора. Скаларни производ вектора се обележава са „·“, а векторски са „×“.

Посматрајмо вектор у тродимензионалном Еуклидском простору: .

Множење вектора скаларом[уреди]

Вектор се множи скаларом тако што се свака његова координата помножи скаларом. Ова операција је комутативна.

Скаларни производ[уреди]

Скаларни производ вектора је скалар једнак суми производа одговарајућих координата:

Скаларни производ је комутативан.

Векторски производ[уреди]

Векторски производ.

Векторски производ вектора је нови вектор, чији је интензитет једнак површини паралограма који вектори-чиниоци заклапају, правац му је нормалан на раван коју вектори-чиниоци дефинишу, а смер се дефинише правилом леве или десне руке, зависно од конвенције. Овај производ је специфичан за , и антикомутативан је. Векторски производ се рачуна као детерминанта матрице:

где су и ортови дуж x, y и z осе, респективно.

Мешовити производ[уреди]

Запремина паралелепипеда који дефинишу 3 вектора једнака је њиховом мешовитом производу.

Мешовити производ три вектора је скалар који је једнак запремини паралелопипеда који ти вектори заклапају. Записује се као [a, b, c] и по дефиницији је:

Множење матрица[уреди]

За више информација погледајте: Матрица (математика)

Нека су дате матрице А и B величине mА×nА и mB×nB, респективно. Производ AB је дефинисан ако је nА = mB, а добијена матрица има димензије mА×nB. Елементи матрице-производа су

Множење матрица није комутативно. Матрице 1×3 и 3×2 можемо помножити само на један начин, а 5×4 и 4×5 са обе стране, али производи неће имати исту величину (5×5 на један и 4×4 на други начин). Ако се помноже две квадратне матрице исте величине, производи су такође исте величине, и може се дефинисати комутатор:

Види још[уреди]

Спољашње везе[уреди]