Мултипликативна функција

Мултипликативна функција је, у теорији бројева, аритметичка функција $f$ позитивног целог броја $n$ са својством да је $f(1)=1$ и $f(ab)=f(a)f(b)$ кад год су $a$ и $b$ узајамно прости.

Аритметичка функција се назива потпуно мултипликативном (или тотално мултипликативном) ако је $f(1)=1$ и ако $f(ab)=f(a)f(b)$ важи за све позитивне целе бројеве $a$ и $b$ , чак и када нису узајамно прости.

Примери

Неке мултипликативне функције дефинисане су тако да олакшају писање формула:

$1(n)$ : константна функција дефинисана са $1(n)=1$
$\operatorname {Id} (n)$ : идентична функција, дефинисана са $\operatorname {Id} (n)=n$
$\operatorname {Id} _{k}(n)$ : степенске функције, дефинисане са $\operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}$ за било који комплексан број $k$ . Посебни случајеви су:

   *    $\operatorname {Id} _{0}(n)=1(n)$ , и
   *    $\operatorname {Id} _{1}(n)=\operatorname {Id} (n)$ .

$\varepsilon (n)$ : функција дефинисана са $\varepsilon (n)=1$ ако је $n=1$ и $0$ иначе; ово је јединична функција, названа тако јер је мултипликативни идентитет за Дирихлеову конволуцију. Понекад се означава и са $u(n)$ , што не треба мешати са $\mu (n)$ .
$\lambda (n)$ : Лијувилова функција, $\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}$ , где је $\Omega (n)$ укупан број простих фактора (рачунатих са вишеструкошћу) који деле $n$ .

Све горе наведене функције су потпуно мултипликативне.

$1_{C}(n)$ : индикаторска функција скупа $C\subseteq \mathbb {Z}$ . Ова функција је мултипликативна тачно онда када је скуп $C$ затворен у односу на множење узајамно простих елемената. Постоје и други скупови (који нису затворени под множењем) који дају такве функције, као што је скуп бесквадратних бројева.

Други примери мултипликативних функција укључују многе функције од значаја у теорији бројева, као што су:

$\gcd(n,k)$ : највећи заједнички делилац бројева $n$ и $k$ , као функција од $n$ , где је $k$ фиксиран цео број.
$\varphi (n)$ : Ојлерова фи функција, која броји позитивне целе бројеве узајамно просте са $n$ (али не веће од $n$ ).
$\mu (n)$ : Мебијусова функција, парност ( $-1$ за непаран, $+1$ за паран) броја простих фактора бесквадратних бројева; $0$ ако $n$ није бесквадратан.
$\sigma _{k}(n)$ : делитељска функција, која је збир $k$ -тих степена свих позитивних делитеља броја $n$ (где $k$ може бити било који комплексан број). Посебни случајеви су:

   *    $\sigma _{0}(n)=d(n)$ , број позитивних делитеља броја  $n$ ,
   *    $\sigma _{1}(n)=\sigma (n)$ , збир свих позитивних делитеља броја  $n$ .

$\sigma _{k}^{*}(n)$ : збир $k$ -тих степена свих унитарних делитеља броја $n$ :

    $\sigma _{k}^{*}(n)\,=\!\!\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!\!d^{k}$

$a(n)$ : број неизоморфних абелових група реда $n$ .
$\gamma (n)$ , дефинисана са $\gamma (n)=(-1)^{\omega (n)}$ , где је адитивна функција $\omega (n)$ број различитих простих бројева који деле $n$ .
$\tau (n)$ : Рамануџанова тау функција.
Сви Дирихлеови карактери су потпуно мултипликативне функције, на пример:

   *    $(n/p)$ , Лежандров симбол, посматран као функција од  $n$  где је  $p$  фиксиран прост број.

Пример немултипликативне функције је аритметичка функција $r_{2}(n)$ , број представљања броја $n$ као збира квадрата два цела броја, позитивна, негативна, или нула, где је при бројању начина дозвољено обртање редоследа. На пример:

1 = 1² + 0² = (−1)² + 0² = 0² + 1² = 0² + (−1)²

и стога је $r_{2}(1)=4\neq 1$ . Ово показује да функција није мултипликативна. Међутим, $r_{2}(n)/4$ јесте мултипликативна.

У Онлајн енциклопедији целобројних низова, низови вредности мултипликативне функције имају кључну реч "mult".^[1]

Видети аритметичка функција за неке друге примере немултипликативних функција.

Особине

Мултипликативна функција је у потпуности одређена својим вредностима на степенима простих бројева, што је последица основне теореме аритметике. Дакле, ако је n производ степена различитих простих бројева, рецимо n = p^a q^b ..., онда је f(n) = f(p^a) f(q^b) ...

Ова особина мултипликативних функција значајно смањује потребу за рачунањем, као у следећим примерима за n = 144 = 2⁴ · 3²: $d(144)=\sigma _{0}(144)=\sigma _{0}(2^{4})\,\sigma _{0}(3^{2})=(1^{0}+2^{0}+4^{0}+8^{0}+16^{0})(1^{0}+3^{0}+9^{0})=5\cdot 3=15$ $\sigma (144)=\sigma _{1}(144)=\sigma _{1}(2^{4})\,\sigma _{1}(3^{2})=(1^{1}+2^{1}+4^{1}+8^{1}+16^{1})(1^{1}+3^{1}+9^{1})=31\cdot 13=403$ $\sigma ^{*}(144)=\sigma ^{*}(2^{4})\,\sigma ^{*}(3^{2})=(1^{1}+16^{1})(1^{1}+9^{1})=17\cdot 10=170$

Слично, имамо: $\varphi (144)=\varphi (2^{4})\,\varphi (3^{2})=(2^{4}-2^{3})(3^{2}-3^{1})=(16-8)(9-3)=8\cdot 6=48$

Уопштено, ако је f(n) мултипликативна функција и a, b су било која два позитивна цела броја, онда је

f(a) · f(b) = f(нзд(a,b)) · f(нзс(a,b)).

Свака потпуно мултипликативна функција је хомоморфизам моноида и у потпуности је одређена својом рестрикцијом на просте бројеве.

Конволуција

Ако су f и g две мултипликативне функције, дефинише се нова мултипликативна функција $f*g$ , Дирихлеова конволуција функција f и g, са $(f\,*\,g)(n)=\sum _{d|n}f(d)\,g\left({\frac {n}{d}}\right)$ где се сума протеже преко свих позитивних делитеља d броја n. Са овом операцијом, скуп свих мултипликативних функција постаје абелова група; идентични елемент је ε. Конволуција је комутативна, асоцијативна и дистрибутивна у односу на сабирање.^{[тражи се извор]}

Релације међу горе наведеним мултипликативним функцијама укључују:

$\mu *1=\varepsilon$ (Мебијусова инверзиона формула)
$(\mu \operatorname {Id} _{k})*\operatorname {Id} _{k}=\varepsilon$ (генерализована Мебијусова инверзија)
$\varphi *1=\operatorname {Id}$
$d=1*1$
$\sigma =\operatorname {Id} *1=\varphi *d$
$\sigma _{k}=\operatorname {Id} _{k}*1$
$\operatorname {Id} =\sigma *\mu$
$\operatorname {Id} _{k}=\sigma _{k}*\mu$

Дирихлеова конволуција се може дефинисати за опште аритметичке функције, и даје структуру прстена, Дирихлеовог прстена.

Дирихлеова конволуција две мултипликативне функције је поново мултипликативна.^{[тражи се извор]} Доказ ове чињенице дат је следећим развојем за узајамно просте $a,b\in \mathbb {Z} ^{+}$ : ${\begin{aligned}(f\ast g)(ab)&=\sum _{d|ab}f(d)g\left({\frac {ab}{d}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}\sum _{d_{2}|b}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {ab}{d_{1}d_{2}}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}f(d_{1})g\left({\frac {a}{d_{1}}}\right)\times \sum _{d_{2}|b}f(d_{2})g\left({\frac {b}{d_{2}}}\right)\\&=(f\ast g)(a)\cdot (f\ast g)(b).\end{aligned}}$

Дирихлеов ред за неке мултипликативне функције

$\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}$
$\sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}$
$\sum _{n\geq 1}{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{4}}{\zeta (2s)}}$
$\sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}$

Више примера је приказано у чланку о Дирихлеовим редовима.

Рационалне аритметичке функције

Аритметичка функција f се назива рационалном аритметичком функцијом реда $(r,s)$ ако постоје потпуно мултипликативне функције g₁,...,g_r, h₁,...,h_s такве да је $f=g_{1}\ast \cdots \ast g_{r}\ast h_{1}^{-1}\ast \cdots \ast h_{s}^{-1},$ где су инверзи у односу на Дирихлеову конволуцију. Рационалне аритметичке функције реда $(1,1)$ познате су као тотијент функције, а рационалне аритметичке функције реда $(2,0)$ као квадратне или специјално мултипликативне функције. Ојлерова функција $\varphi (n)$ је тотијент функција, а делитељска функција $\sigma _{k}(n)$ је квадратна функција.

Потпуно мултипликативне функције су рационалне аритметичке функције реда $(1,0)$ . Лијувилова функција $\lambda (n)$ је потпуно мултипликативна. Мебијусова функција $\mu (n)$ је рационална аритметичка функција реда $(0,1)$ . По конвенцији, идентитетски елемент $\varepsilon$ под Дирихлеовом конволуцијом је рационална аритметичка функција реда $(0,0)$ .

Све рационалне аритметичке функције су мултипликативне. Мултипликативна функција f је рационална аритметичка функција реда $(r,s)$ ако и само ако је њен Белов ред облика $f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}={\frac {(1-h_{1}(p)x)(1-h_{2}(p)x)\cdots (1-h_{s}(p)x)}{(1-g_{1}(p)x)(1-g_{2}(p)x)\cdots (1-g_{r}(p)x)}}$ за све просте бројеве $p$ .

Концепт рационалне аритметичке функције потиче од Р. Ваидјанатасвамија (1931).

Буше-Рамануџанови идентитети

Мултипликативна функција $f$ се назива специјално мултипликативном ако постоји потпуно мултипликативна функција $f_{A}$ таква да је

f(m)f(n)=\sum _{d\mid (m,n)}f(mn/d^{2})f_{A}(d)

за све позитивне целе бројеве $m$ и $n$ , или еквивалентно

f(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}f(m/d)f(n/d)\mu (d)f_{A}(d)

за све позитивне целе бројеве $m$ и $n$ , где је $\mu$ Мебијусова функција. Ово су познати као Буше-Рамануџанови идентитети.

Године 1906, Е. Буше је навео идентитет

\sigma _{k}(m)\sigma _{k}(n)=\sum _{d\mid (m,n)}\sigma _{k}(mn/d^{2})d^{k},

а 1915, С. Рамануџан је дао инверзни облик

\sigma _{k}(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}\sigma _{k}(m/d)\sigma _{k}(n/d)\mu (d)d^{k}

за $k=0$ . С. Човла је дао инверзни облик за опште $k$ 1929. године. Проучавање Буше-Рамануџанових идентитета почело је покушајем да се боље разумеју посебни случајеви које су дали Буше и Рамануџан.

Познато је да квадратне функције $f=g_{1}\ast g_{2}$ задовољавају Буше-Рамануџанове идентитете са $f_{A}=g_{1}g_{2}$ . Квадратне функције су потпуно исте као и специјално мултипликативне функције. Тотијенти задовољавају ограничен Буше-Рамануџанов идентитет.

Мултипликативна функција над $F_{q}[X]$

Нека је $A=F_{q}[X]$ , прстен полинома над коначним пољем са q елемената. A је домен главних идеала и стога је A домен јединствене факторизације.

Комплексно-вредносна функција $\lambda$ на A назива се мултипликативном ако је $\lambda (fg)=\lambda (f)\lambda (g)$ кад год су f и g узајамно прости.

Зета функција и Дирихлеов ред у $F_{q}[X]$

Нека је h аритметичка функција полинома (тј. функција на скупу моничних полинома над A). Њен одговарајући Дирихлеов ред дефинише се као

D_{h}(s)=\sum _{f{\text{ моничан}}}h(f)|f|^{-s},

где за $g\in A,$ поставимо $|g|=q^{\deg(g)}$ ако је $g\neq 0,$ и $|g|=0$ иначе.

Полиномна зета функција је тада

\zeta _{A}(s)=\sum _{f{\text{ моничан}}}|f|^{-s}.

Слично као у случају $\mathbb {N}$ , сваки Дирихлеов ред мултипликативне функције h има производну репрезентацију (Ојлеров производ):

D_{h}(s)=\prod _{P}\left(\sum _{n=0}^{\infty }h(P^{n})|P|^{-sn}\right),

где се производ протеже преко свих моничних иредуцибилних полинома P. На пример, производна репрезентација зета функције је као за целе бројеве:

\zeta _{A}(s)=\prod _{P}(1-|P|^{-s})^{-1}.

За разлику од класичне зета функције, $\zeta _{A}(s)$ је једноставна рационална функција:

\zeta _{A}(s)=\sum _{f}|f|^{-s}=\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}q^{-sn}=\sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.

На сличан начин, ако су f и g две аритметичке функције полинома, дефинише се f * g, Дирихлеова конволуција функција f и g, са

{\begin{aligned}(f*g)(m)&=\sum _{d\mid m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)\\&=\sum _{ab=m}f(a)g(b),\end{aligned}}

где се сума протеже преко свих моничних делитеља d од m, или еквивалентно преко свих парова (a, b) моничних полинома чији је производ m. Идентитет $D_{h}D_{g}=D_{h*g}$ и даље важи.

Генерализације

Аритметичка функција $f$ је квазимултипликативна ако постоји ненулта константа $c$ таква да је $c\,f(mn)=f(m)f(n)$ за све позитивне целе бројеве $m,n$ са $(m,n)=1$ . Овај концепт потиче од Лахирија (1972).

Аритметичка функција $f$ је семимултипликативна ако постоји ненулта константа $c$ , позитиван цео број $a$ и мултипликативна функција $f_{m}$ таква да је $f(n)=cf_{m}(n/a)$ за све позитивне целе бројеве $n$ (под конвенцијом да је $f_{m}(x)=0$ ако $x$ није позитиван цео број). Овај концепт је дело Дејвида Ририка (1966).

Аритметичка функција $f$ је Селбергова мултипликативна ако за сваки прост број $p$ постоји функција $f_{p}$ на ненегативним целим бројевима са $f_{p}(0)=1$ за све осим коначно много простих бројева $p$ таква да је $f(n)=\prod _{p}f_{p}(\nu _{p}(n))$ за све позитивне целе бројеве $n$ , где је $\nu _{p}(n)$ експонент од $p$ у канонској факторизацији од $n$ . Погледати Селберг (1977).

Познато је да се класе семимултипликативних и Селбергових мултипликативних функција поклапају. Обе задовољавају аритметички идентитет $f(m)f(n)=f((m,n))f([m,n])$ за све позитивне целе бројеве $m,n$ . Погледати Хауканен (2012).

Добро је познато и лако се види да су мултипликативне функције квазимултипликативне функције са $c=1$ и да су квазимултипликативне функције семимултипликативне функције са $a=1$ .

Види још

Референце

^ „Keyword:mult - OEIS”.

Литература

Tom M. Apostol (1976). „2”. Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer. ISBN 0-387-90163-9.
P. J. McCarthy (1986). Introduction to Arithmetical Functions. Universitext. New York: Springer-Verlag.
Hafner, Christian M.; Linton, Oliver (2010). „Efficient estimation of a multivariate multiplicative volatility model” (PDF). Journal of Econometrics. 159 (1): 55—73. S2CID 54812323. doi:10.1016/j.jeconom.2010.04.007.
P. Haukkanen (2003). „Some characterizations of specially multiplicative functions”. Int. J. Math. Math. Sci.. 2003 (37): 2335—2344. doi:10.1155/S0161171203301139 .
P. Haukkanen (2012). „Extensions of the class of multiplicative functions”. East–West Journal of Mathematics. 14 (2): 101—113.
DB Lahiri (1972). „Hypo-multiplicative number-theoretic functions”. Aequationes Mathematicae. 8 (3): 316—317. doi:10.1007/BF01844515.
D. Rearick (1966). „Semi-multiplicative functions”. Duke Math. J.. 33: 49—53.
L. Tóth (2013). „Two generalizations of the Busche-Ramanujan identities”. International Journal of Number Theory. 9 (5): 1301—1311. arXiv:1301.3331 . doi:10.1142/S1793042113500280.
R. Vaidyanathaswamy (1931). „The theory of multiplicative arithmetic functions”. Transactions of the American Mathematical Society. 33 (2): 579—662. doi:10.1090/S0002-9947-1931-1501607-1 .
Ramanujan, S. "Some formulae in the analytic theory of numbers". Messenger of Mathematics, 45 (1915), 81-84.
Busche, E. "Lösung einer Aufgabe über Teileranzahlen". Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg, 4, 229-237 (1906).
Selberg, A. "Remarks on multiplicative functions". Number theory day (Proc. Conf., Rockefeller Univ., New York, 1976), pp. 232–241, Springer, 1977.

Спољашње везе

Multiplicative function at PlanetMath.org.

[1] „Keyword:mult - OEIS”.

[1]